2003　東北大学　前期MathJax

【１】　実数$a$に対して，集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を

• $\mathrm{A}=\{x|x^2+(1-a^2)x+a^3-2a^2+a\leqq 0\text{，}x\text{は実数}\}$
• $\mathrm{B}=\{x|x^2+(2a-7)x+a^2-7a+10<0\text{，}x\text{は実数}\}$

と定める．共通部分$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$が空集合でないための$a$の範囲を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，

$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{AC}=2\text{，}\angle \mathrm{A}=60°$

とする．正の数$m\text{，}n$に対し，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$を$m:n$の比に内分する点を順に$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$が垂直であるときの比$m:n$を求めよ．

(2)　どのような正の整数$m\text{，}n$に対しても，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$は垂直でないことを示せ．

【３】　ある人がバス停$\mathrm{A}$で$\mathrm{A}$発$\mathrm{B}$行きのバスに乗り，バス停$\mathrm{B}$で$\mathrm{B}$発$\mathrm{C}$行きのバスに乗りかえてバス停$\mathrm{C}$へ向かうものとする．バスの発車時刻，バス停での待ち時間，バスの乗車時間は次の$5$つの条件を満たすものとする．

• 1.　$\mathrm{A}$発$\mathrm{B}$行きおよび$\mathrm{B}$発$\mathrm{C}$行きのバスは同時刻に$3$分おきで発車している．
• 2.　バス停$\mathrm{A}$での待ち時間は$0$分または$1$分または$2$分で，それぞれの起こる確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．
• 3.　バス停$\mathrm{B}$に到着後，最初に発車する$\mathrm{C}$行きのバスに乗りかえる．
• 4.　$\mathrm{A}$発$\mathrm{B}$行きのバスの乗車時間は$8$分または$10$分で，それぞれの起こる確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．
• 5.　$\mathrm{B}$発$\mathrm{C}$行きのバスの乗車時間は$6$分または$7$分で，それぞれの起こる確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

ただし，条件 2 ，4 ，5 において，待ち時間，乗車時間の起こり方は独立であるとする．

この人がバス停$\mathrm{A}$に到着後バス停$\mathrm{C}$へ到着するまでにかかる時間が$n$分である確率$P(n)$を求めよ．

【４】　$2$つの関数を

• $t=\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta \text{，}$
• $y=-4\cos 3\theta +\cos 2\theta -\sqrt{3}\sin \sin 2\theta +2\cos \theta +2\sqrt{3}\sin \theta$

とする．

(1)　$\cos 3\theta$を$t$の関数で表せ．

(2)　$y$を$t$の関数で表せ．

(3)　$0°\leqq \theta \leqq 180°$のとき，$y$の最大値，最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【１】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対し，$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}\mathrm{E}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とおく．

(1)　$A^2=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)$のとき，$\alpha \delta -\beta \gamma \geqq 0$を示せ．

(2)　$A$が$A^4=E$を満たすならば，$A^2=E$または$A^2=-E$となることを示せ．

(3)　$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$とする．$A$が$A^2=-E$および$BA=-AB$を満たすとき，$b\text{，}c\text{，}d$を$a$の式で表せ．また，このとき

$AB=A^{m}B{A}^n$

が成立するような整数の組$(m,n)$で$1\leqq m\leqq 3\text{，}1\leqq n\leqq 3$の範囲にあるものをすべて求めよ．

【３】　関数$f(x)=4x-x^2$に対し，数列$\left\{a_n\right\}$を

$a_1=c\text{，}{a}_{n+1}=\sqrt{f(a_n)}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で与える．ただし，$c$は$0<c<2$を満たす定数である．

(1)　$a_n<2\text{，}{a}_n<a_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(2)　$2-a_{n+1}<{\displaystyle \frac{2-c}{2}}(2-a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　$xyz$空間内に$2$点$\mathrm{P}(u,u,0)\text{，}\mathrm{Q}(u,0,\sqrt{1-u^2})$を考える．$u$が$0$から$1$まで動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる曲面を$S$とする．

(1)　点$(u,0,0)\text{（}0\leqq u\leqq 1\text{）}$と線分$\mathrm{PQ}$の距離を求めよ．

(2)　曲面$S$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．

【５】　複素数平面上で，相異なる$3$点$1\text{，}\alpha \text{，}{\alpha }^2$は実軸上に中心をもつ同一円周上にある．このような$\alpha$の存在する範囲を複素数平面上に図示せよ．さらに，この円の半径を$|\alpha |$を用いて表せ．

【６】　対数は自然対数であり，$e$はその底とする．関数$f(x)=(x+1)\log {\displaystyle \frac{x+1}{x}}$に対して，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$は$x>0$で単調減少関数であることを示せ．

(2)　$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$および$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)=2$を満たす$x$が${\displaystyle \frac{1}{e^2}}<x<1$の範囲に存在することを示せ．

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