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2003 東北大学 後期

法・経済学部

易□ 並□ 難□

2003年東北大後期文系【1】の図

【1】 図のように円周上に 4 O A B C がある.ある粒子はこの円周上を点 O を出発して,時計回りに確率 23 でとなりの点に,反時計回りに確率 13 でとなりの点に移動する.

(1) この粒子が 4 回の移動までに A B C すべての点を訪問する確率を求めよ.

(2) この粒子が n 回の移動までに C を訪問しない確率を求めよ.

2003 東北大学 後期

法・経済学部

易□ 並□ 難□

【2】 放物線 C a,b :y=- (x- a)2 +b と放物線 y= x2 とで囲まれる部分の面積を S とする.

(1)  S= 98 のとき, b a の式で表せ.

(2) ある放物線 C: y=m x2+ nx+ p m 0 は(1)を満たすどの C a,b とも 1 点だけを共有しているという. C を求めよ.

2003 東北大学 後期

法・経済学部

理・工・歯・薬・農・医学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

2003年東北大後期文系【3】の図

【3】 図のような空間内の 8

を頂点とする直方体を考える.この直方体の辺上を 6 個の動点 P Q R S T U が次の条件(ⅰ),(ⅱ)を満たすように動くものとする.

(1)  R は常に P T U の定める平面上にあることを示せ.

(2) 各時刻 t における四角形 PURT の面積を求めよ.

(3)  Q S が共に P T U の定める平面上にある時刻 t 0<t< 1 を求めよ.

2003 東北大学 後期

法・経済・理・工・歯・

薬・農・医学部共通問題

ただし理・工・歯・薬・農・医学部は【3】

易□ 並□ 難□

【4】 平面において,点 P( s,t) は原点 O を中心とする半径 1 の円周上にあり,点 Q (u, v) は点 (1 ,0) を中心とする半径 1 の円周上にある. P Q PQ= 1 を保ちながら動くとき,次の問いに答えよ.

(1)  s1 のとき, u v s t の式で表せ.

(2) 線分 PQ の中点の軌跡を図示せよ.

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理・工・歯・薬・農・医学部

易□ 並□ 難□

【1】(1) 正の整数 n に対して, f(x )=( ex- e-x ) n とする. f (0) を求めよ.

(2) 次を示せ.ただし, Ck n = n! k!( n-k) ! とする.

k= 0n C kn ( -1) k( n-2 k)= {2 n=1 のとき) 0 n 2のとき)

2003 東北大学 後期

理・工・歯・薬・農・医学部

法・経済学部【3】の類題

易□ 並□ 難□

2003年東北大後期理系【2】の図

【2】 図のような空間内の 8

を頂点とする直方体を考える.この直方体の辺上を 6 個の動点 P Q R S T U が次の条件(ⅰ),(ⅱ)を満たすように動くものとする.

(1)  R は常に P T U の定める平面上にあることを示せ.

(2)  Q S が共に P T U の定める平面上にある時刻 t 0<t< 1 を求めよ.

(3) (2)で求めた時刻における六角形 PTSRUQ の面積を求めよ.

2003 東北大学 後期

理・工・歯・薬・農・医学部

易□ 並□ 難□

【4】  2 つの数列 {an } {bn }

an= - π4 π4 en sinθ dθ bn= -π 4 π4 en sinθ cos θdθ n=1 2 3

で定める.

(1) 一般項 bn を求めよ.

(2) 各 n に対して,次を示せ.

bn an 2 bn

(3)  limn 1n log an を求めよ.ただし,対数は自然対数であり, limx +0 x logx= 0 を用いてよい.

2003 東北大学 後期

理・工学部

易□ 並□ 難□

【5】  f(x )=e x-c c は定数)の逆関数を g (x) とする.

(1)  g(x ) を求めよ.

(2)  y=f (x) y= g(x ) のグラフの共有点の個数を求めよ.

2003 東北大学 後期

理・工学部

易□ 並□ 難□

【6】  2 次の正方行列 A B

A2= B2= O O は零行列)

を満たすとする.次の(1),(2)を示せ.

(1)  (A+ B)2 =sE s は実数, E は単位行列)

(2)  (A+ B)2 =O AO ならば, B=t A t は実数)が成り立つ.

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