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2003-10081-0201
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
2003 東北大学 後期
法・経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 図のように円周上に 4 点 O ,A ,B ,C がある.ある粒子はこの円周上を点 O を出発して,時計回りに確率 23 でとなりの点に,反時計回りに確率 13 でとなりの点に移動する.
(1) この粒子が 4 回の移動までに A ,B ,C すべての点を訪問する確率を求めよ.
(2) この粒子が n 回の移動までに C を訪問しない確率を求めよ.
2003-10081-0202
【2】 放物線 C a,b :y=- (x- a)2 +b と放物線 y= x2 とで囲まれる部分の面積を S とする.
(1) S= 98 のとき, b を a の式で表せ.
(2) ある放物線 C: y=m⁢ x2+ n⁢x+ p( m≠ 0) は(1)を満たすどの C a,b とも 1 点だけを共有しているという. C を求めよ.
2003-10081-0203
理・工・歯・薬・農・医学部【2】の類題
【3】 図のような空間内の 8 点
を頂点とする直方体を考える.この直方体の辺上を 6 個の動点 P ,Q , R, S ,T , U が次の条件(ⅰ),(ⅱ)を満たすように動くものとする.
(1) R は常に P ,T ,U の定める平面上にあることを示せ.
(2) 各時刻 t における四角形 PURT の面積を求めよ.
(3) Q ,S が共に P ,T ,U の定める平面上にある時刻 t ( 0<t< 1) を求めよ.
2003-10081-0204
法・経済・理・工・歯・
薬・農・医学部共通問題
ただし理・工・歯・薬・農・医学部は【3】
【4】 平面において,点 P( s,t) は原点 O を中心とする半径 1 の円周上にあり,点 Q (u, v) は点 (1 ,0) を中心とする半径 1 の円周上にある. P と Q が PQ= 1 を保ちながら動くとき,次の問いに答えよ.
(1) s≠1 のとき, u ,v を s と t の式で表せ.
(2) 線分 PQ の中点の軌跡を図示せよ.
2003-10081-0205
理・工・歯・薬・農・医学部
【1】(1) 正の整数 n に対して, f⁡(x )=( ex- e-x ) n とする. f′⁡ (0) を求めよ.
(2) 次を示せ.ただし, Ck n = n! k!⁢( n-k) ! とする.
∑k= 0n ⁡C kn ⁢( -1) k⁢( n-2⁢ k)= {2 ( n=1 のとき) 0( n≧ 2のとき)
2003-10081-0206
法・経済学部【3】の類題
【2】 図のような空間内の 8 点
(2) Q ,S が共に P ,T ,U の定める平面上にある時刻 t ( 0<t< 1) を求めよ.
(3) (2)で求めた時刻における六角形 PTSRUQ の面積を求めよ.
2003-10081-0207
【4】 2 つの数列 {an }, {bn } を
an= ∫- π4 π4 ⁡ en⁢ sin⁡θ ⁢dθ , bn= ∫-π 4 π4 ⁡en ⁢sin⁡θ ⁢cos⁡ θ⁢dθ ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定める.
(1) 一般項 bn を求めよ.
(2) 各 n に対して,次を示せ.
bn≦ an≦ 2⁢ bn
(3) limn→ ∞⁡ 1n ⁢log⁡ an を求めよ.ただし,対数は自然対数であり, limx →+0 ⁡x⁢ log⁡x= 0 を用いてよい.
2003-10081-0208
理・工学部
【5】 f⁡(x )=e x-c ( c は定数)の逆関数を g⁡ (x) とする.
(1) g⁡(x ) を求めよ.
(2) y=f⁡ (x) と y= g⁡(x ) のグラフの共有点の個数を求めよ.
2003-10081-0209
【6】 2 次の正方行列 A ,B が
A2= B2= O( O は零行列)
を満たすとする.次の(1),(2)を示せ.
(1) (A+ B)2 =s⁢E ( s は実数, E は単位行列)
(2) (A+ B)2 =O ,A≠O ならば, B=t⁢ A( t は実数)が成り立つ.