2003　筑波大学　前期MathJax

• (ⅰ)　すべての$x$について，$f(x)>0$である．
• (ⅱ)　すべての$x\text{，}y$について，$f(x+y)=f(x)f(y)e^{-xy}$が成り立つ．

(1)　$f(0)=1$を示せ．

(2)　$g(x)=\log f(x)$とする．このとき，$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)-x$が成り立つことを示せ．

(3)　$f^{\prime }(0)=2$となるような$f(x)$を求めよ．

(1)　$b$の値を求めよ．

(2)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$が最大値と最小値を持つような$a$の値の範囲を求め，そのときの$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(4)　$f(x)$が最大値を持つが最小値は持たないとき，$a$の値と$f(x)$の最大値を求めよ．

(1)　点$\mathrm{A}$の$x$座標および$a$を$r$で表わせ．

(2)　円と放物線で囲まれた部分（斜線部分）を$x$軸の周りに回転してできる立体の体積を$V(r)$とする．このとき，$\underset{r\to \frac{1}{2}+0}{\lim }{\displaystyle \frac{V(r)}{{(r-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^3}}$を求めよ．

(1)　$a\text{，}b$が満たす条件を求めよ．

(2)　$A$の成分がすべて整数のとき，$a$が満たす条件を求めよ．

(3)　$A^{-1}=sP+tE$を満たす実数$s\text{，}t$を求めよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の方程式を，それぞれ求めよ．

(2)　$C_1$と漸近線を共有し，$C_1$と異なる双曲線を$C_3$とする．$C_2$と$C_3$が$2$点のみを共有するとき，$C_3$の方程式を求めよ．

• $a<x_1<x_2<d$ならば$f(x_1)>f(x_2)\text{，}$
• $d<x_1<x_2<b$ならば$f(x_1)<f(x_2)$

とする．区間の幅を縮小させながら$d$の値を近似的に計算する．$a<s<t<b$を満たす$s$と$t$に対し，

• $f(s)>f(t)$ならば$s<d<b\text{，}$
• $f(s)\leqq f(t)$ならば$a<d\leqq t$

であることを用い，次のアルゴリズムを作成した．ここで，$p$は${\displaystyle \frac{1}{2}}<p<1$を満たす定数，$h$は$h<b-a$を満たす十分小さい正の定数とする．

(1)　$p={\displaystyle \frac{b_1-s_1}{b_1-a_1}}={\displaystyle \frac{t_1-a_1}{b_1-a_1}}$を満たす$p$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$p$に対して，

$p={\displaystyle \frac{b_i-s_i}{b_i-a_i}}={\displaystyle \frac{t_i-a_i}{b_i-a_i}}$

が$i=k$のとき成り立てば，$i=k+1$のときも成り立つことを示せ．

(3)　(1)で求めた$p$に対しアルゴリズムを実行する．$p^i$がはじめて${\displaystyle \frac{h}{b-a}}$より小さくなったとき，$s_i$が出力されることを示せ．