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2003-10221-0101
2003 埼玉大学 前期
経済,教育(学校教育・
教科教育コース(数学専修))学部
易□ 並□ 難□
【1】 右の図の ▵ABC において,辺 AB の三等分点を A に近い方から順に D ,E , 辺 AC の二等分点を F , 線分 CD と線分 EF との交点を H とする.
このとき, AH の延長線と辺 BC との交点を I ,AB →= p→ ,AC →= q→ として,次の(1),(2)のベクトルを p → ,q → で表せ.
(1) AH→
(2) HI→ +HE→
2003-10221-0102
【2】 数列 {an }, {bn } を, a1= b1= 1, an+ 1= an+4 ⁢bn , bn+ 1=a n+b n ( n=1 ,2 ,3 , ⋯) と定めるとき,次の各問に答えよ.
(1) an+ 2⁢bn =3n となることを示せ.
(2) {an } の一般項を求めよ.
2003-10221-0103
【3】 座標平面上の ▵AOB ( O は原点)において, 2 点 A ,B の x 座標, y 座標がそれぞれともに整数であるとき,次のことを証明せよ.
ただし, ∠AOB=θ とする.
(1) 内積 OA →⋅ OB→ は整数である.
(2) cos2⁡ θ は有理数である.
(3) sin⁡2⁢ θ は有理数である.
2003-10221-0104
【4】 次の各問に答えよ.
(1) 関数 f⁡ (x)= x3-3 ⁢x+1 の極値を求め,その関数 y= f⁡(x ) のグラフの概形をかけ.
(2) 直線 y= x+1 上の点 (α, α+1 ) から,(1)の曲線 C: y=f⁡ (x) へ異なる 3 本の接線が引けるときの α の範囲を求めよ.