2003 千葉大学 前期MathJax

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2003 千葉大学 前期

数学I・数学A

易□ 並□ 難□

【1】 放物線 y= f(x ) x 軸方向に -2 y 軸方向に 2 だけ平行移動したところ,放物線

y=x2 +2 (2-a )x+ 2(1 -2a )

が得られた.ただし, a は定数である.

(1)  f(x ) を求めよ.

(2) 方程式 f (x)= 0 1 x4 の範囲に少なくとも 1 つの解をもつような a の値の範囲を求めよ.

2003 千葉大学 前期

数学I・数学A

易□ 並□ 難□

【2】 三角形 ABC において, A 2 等分線が辺 BC と交わる点を D とする.

(1)  AB:AC= BD:DC を証明せよ.

(2)  AB=2 AC=4 AD =1 のとき,辺 BC の長さと三角形 ABC の面積を求めよ.

2003 千葉大学 前期

数学I・数学A

【14】の類題

易□ 並□ 難□

【3】  n 枚のカードの表に 1 2 n の数をそれぞれ 1 つずつ書く.この n 枚のカードを裏返しにして,よくまぜ,重ねて,上から順に 1 2 n の数を書く.表と裏に書かれた数が一致するカードが 1 枚もない確率を pn とする.

(1)  p3 を求めよ.

(2)  n=4 のとき,表と裏に書かれた数が一致するカードの枚数の期待値を求めよ.

(3)  p5 を求めよ.

2003 千葉大学 前期

数学I・数学A

易□ 並□ 難□

【4】 数列 {an }

で定める.

(1) 一般項 an を求めよ.

(2)  k= 1n k2 ak を求めよ.

2003 千葉大学 前期

数学II・数学B

易□ 並□ 難□

【5】 放物線 C: y=x2 上の 2 A B は,直線 AB C で囲まれる図形の面積が 16 になる,という条件を満たしながら C 上を動くとする.このとき,直線 AB が通りうる点の範囲を求め,図示せよ.

2003 千葉大学 前期

数学II・数学B

易□ 並□ 難□

【6】  R を平面上の凸 6 角形とし,その頂点を順に A B C D E F とする. a =AB b =BC c =CD とおく.

  R ED =a FE =b を満たすとする.

(1)  AF =c であることを示せ.

(2) 三角形 ACE と三角形 BDF の重心が一致するとき, a b c の間の関係を求めよ.

(3)  R が(2)の条件を満たし,さらに内積に関して a b =4 b c =1 a c =-1 を満たすとき, R の面積を求めよ.

2003 千葉大学 前期

数学III・数学C

易□ 並□ 難□

【7】 実数 t に対して, u 3 次方程式 u 3-3 u+2 t=0 の実数解のうちで絶対値が最小のものを f (t) とする.

(1) 媒介変数 t を用いて

x=f (t) y=- 2t t は実数)

と表される曲線を図示せよ.

(2) 関数 f (t) が連続でない t の値を求め, f(t ) のグラフをかけ.

2003 千葉大学 前期

数学III・数学C

易□ 並□ 難□

【8】  n 自然数とする.関数

f(x )=(1 -tan4 x) tann x( 0x π4 )

のグラフと x 軸で囲まれた図形の面積が 235 であるとき, f(x ) の最大値を求めよ.

2003 千葉大学 前期

数学III・数学C

易□ 並□ 難□

【9】 関数 f (x) はすべての実数 x に対して定義され,すべての実数 x で微分可能であるとする.このとき,以下の命題について,正しければ証明し,正しくなければ反例をあげよ.

(1)  x1< x2 を満たすすべての実数 x1 x2 に対して f (x1 )< f( x2 ) が成り立つとする.このとき,すべての実数 x に対して f (x)> 0 である.

(2)  f(0 )=0 かつ,すべての実数 x に対して f (x)> 0 ならば, limx + f (x) =+ である.

(3)  f(0 )=0 かつ,すべての実数 x に対して f (x)> 0 ならば, limx + 0x f (t) dt= + である.

2003 千葉大学 前期

数学III・数学C

易□ 並□ 難□

【10】  a は定数とし, n 2 以上の整数とする.関数

f(x )=a xn logx- ax x >0

の最小値が -1 のとき,定積分

1e f (x) dx

の値を n と自然対数の底 e を用いて表せ.

2003 千葉大学 前期

数学III・数学C

易□ 並□ 難□

【11】  p を素数とする. x に関する 2 次方程式

px2 +(5 -p2 )x- 3p= 0

が整数の解を持つのは p= 2 のとき限ることを示せ.

2003 千葉大学 前期

数学II・数学B

易□ 並□ 難□

【12】 配列(添字付き変数) a において, a[1] a [2] a [n] には異なる整数の値が小さい順に入っている.このとき,次の流れ図は値 b

a[1 ] a[2 ] a[n ]

の中に現れるかどうかを判定し,現れたら b= a[m ] となる m を返し,現れなければ 0 を返すプログラムに対応している.そのプログラムについて以下の問いに答えよ.ただし, (h+l )div 2 h+ l 2 で割った商の整数部分を表している.

(1)  n=16 とし, a[5 ]<b< a[6 ] であったとする.このプログラムの実行開始から終了までの,流れ図中の A 点における k l h の値の表を作成せよ.

(2) ある自然数 p に対して n= 2p と表せるとき, A 点で成立している k l h p の関係式を求め,プログラムが終了したときの k p を使って表せ.ただし,証明は述べなくてよい.

2003年千葉大前期【12】の図

2003 千葉大学 前期

数学II・数学B

【15】の類題

易□ 並□ 難□

【13】  a を実数とし, z を複素数とする.複素数平面上で, a z z2 z3 が表す 4 点が,ある正方形の 4 頂点になるとする.ただし, a z2 が表す頂点は対角線上にあるとする.このような a z の値をすべて求めよ.

2003 千葉大学 前期

数学II・数学B

【3】の類題

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【14】  n 枚のカードの表に 1 2 n の数をそれぞれ 1 つずつ書く.この n 枚のカードを裏返しにして,よくまぜ,重ねて,上から順に 1 2 n の数を書く.表と裏に書かれた数が一致するカードの枚数を X とする.

(1)  n=4 のとき, X の期待値を求めよ.

(2)  n=5 のとき, X=0 となる確率を求めよ.

(3)  n=5 のとき,条件 X 1 の下で, X=1 となる条件つき確率を求めよ.

2003 千葉大学 前期

数学II・数学B

【13】の類題

易□ 並□ 難□

【15】  a を実数とし, z を複素数とする.複素数平面上で, a z z2 z3 が表す 4 点が,あるひし形の 4 頂点になるとする.ただし, a z2 が表す頂点は対角線上にあるとする.このような a z の値をすべて求めよ.

2003 千葉大学 前期

数学II・数学B

易□ 並□ 難□

【16】  k を整数とし q を実数とする. A B 2 人が次のようなゲームを行う.まず A 3 枚の硬貨を投げ,表の出た枚数を X とする. X>k なら A の勝ち, X<k なら B の勝ちとする. X=k のときは当たる確率が q のくじを A が引き,当たれば A の勝ち,そうでなければ B の勝ちとする. A B とも,勝った場合には X+ 1 円の賞金がもらえ,負けた場合には何ももらえない( 0 円もらう)とする.ここで k および q の値は, A B のもらう賞金の期待値が等しくなるように定める.

(1)  k q の値を求めよ.

(2) 上のゲームを 2 回行ったとき, B の賞金総額が 3 円であった.このとき, A の賞金総額も 3 円である条件付き確率を求めよ.

志望別問題選択一覧

数学I,A

 教育学部 自然教育・技術教育系,情報教育系 【1】【2】【3】【4】

数学I,II,A,B

 文学部 行動科学科,法経学部 【3】【4】【5】必須,【12】【6】から1題選択

 園芸学部 【4】【5】【6】必須,【13】【12】【14】から1題選択

数学I,II,III,A,B,C

 理学部 生物学科,地球科学科,工学部Aコース 都市環境システム学科,デザイン工学科

  【5】【6】【7】【8】必須,【15】【12】【16】から1題選択

 理学部 物理学科,化学科,医学部,薬学部,

 工学部Aコース 電子機械工学科,情報画像学科,物質工学科

  【6】【7】【9】【10】必須,【15】【12】【16】から1題選択

 理学部 数学・情報数理学科

  【6】【7】【9】【10】【11】必須,【15】【12】【16】から1題選択

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