2003　千葉大学　先進科学プログラム入学者選考課題MathJax

【１】　次の問に答えなさい．

(1)　${(\sqrt{3\sqrt{2}-4})}^4{(\sqrt{3\sqrt{2}+4})}^6$の値を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(2)　方程式$x^4-10x^3+36x^2-54x+27=0$の解を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(3)　$0\leqq \theta <360°$のとき，$y=\cos 2\theta -3\sin \theta +1$の最大値，最小値を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(4)　${({\log }_{3}x)}^2-{\log }_3{x}^3+2=0$を満たす$x$を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(5)　次の$S$の値を求めなさい．

$S={\displaystyle \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+\cdots \frac{1}{n(n+2)}}$

【１】　次の問に答えなさい．

(6)　互いに区別することのできない$5$個の玉を，$3$つの箱にそれぞれ独立に入れるとき，入れ方は全部で何通りあるか．ただし，箱の中に$1$つも玉が入っていない場合も含めるものとする．

【２】　次の問に答えなさい．

(1)　実数$t$を用いて

$\alpha =t\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{2t^3-9t^2+12t}{9t-12}}$

とする．このとき，次の$2$つの直線

• $y=\alpha x$
• $y=-\beta (x-t)$

の交点を$t$で表しなさい．ただし，$t>{\displaystyle \frac{4}{3}}$とする．

(2)　(1)の$2$つの直線と$x$軸が作る三角形の面積$S$を$t$で表し，面積が最小となる時の$t$の値とそのときの三角形の面積を求めなさい．