2003　東京大学　後期MathJax

【１】(1)　$x\geqq 0$のとき，次の不等式を示せ．

$x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}\leqq \sin x\leqq x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{x^5}{5!}}$

(2)　曲線$y=\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．この立体を$x$軸に垂直な$2n-1$個の平面によって体積が等しい$2n$個の部分に分割する．ただし$n$は$2$以上の自然数である．

(a)　これら$2n-1$個の平面と$x$軸との交点の$x$座標のうち，${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$より小さくかつ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に最も近いものを$a_n$とする．このとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }n({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a_n)$

を求めよ．

(b)　$2n-1$個の平面と$x$軸との交点の$x$座標のうち最も小さいものを$b_n$とする．数列$\{n^p{b}_n\}$が$n\to \infty$のとき$0$でない有限な値に収束するような実数$p$の値を求めよ．また，$p$をそのようにとったとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^p{b}_n$

を求めよ．

【２】　$p\text{，}q\text{，}N\text{，}M$を自然数とする．ただし$\sqrt{p}$は自然数ではないとする．このとき次の問に答えよ．

(1)　自然数$l$に対してある整数$A\text{，}B$があって

${(\sqrt{p}-[\sqrt{p}])}^l=A\sqrt{p}+B$

と表せることを示せ．ただし$[\sqrt{p}]$は$\sqrt{p}$より小さい整数のうちで最大のものを表す．

(2)　$xy$平面において，$x$座標および$y$座標がともに整数であるような点を格子点という．このとき，直線$y=\sqrt{p}x$との距離が${\displaystyle \frac{1}{N}}$以下で$x$座標が$N$以上であるような格子点が存在することを示せ．

(3)　双曲線$y^2-p{x}^2=q$の上の点$\mathrm{P}$と格子点$\mathrm{Q}$で，線分$\mathrm{PQ}$の長さが${\displaystyle \frac{1}{M}}$以下であるようなものが存在することを示せ．

(4)　$p=5\text{，}q=2\text{，}M=100$として(3)の条件をみたすような格子点$\mathrm{Q}$を一つ求めよ．すなわち，格子点$\mathrm{Q}$であって，双曲線$y^2-5x^2=2$の上の点$\mathrm{P}$を適当にとれば$\mathrm{PQ}$の長さを${\displaystyle \frac{1}{100}}$以下にすることができるようなものを一つ求めよ．ただし$2.23606<\sqrt{5}<2.23607$を用いてよい．

【３】(1)　すべての$n$について$a_n\geqq 2$であるような数列$\{a_n\}$が与えられたとして，数列$\{x_n\}$に関する漸化式

(A)　$x_{n+2}-a_{n+1}{x}_{n+1}+x_n=0\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．このとき，自然数$m$を一つ決めて固定すれば，漸化式(A)をみたし，$x_0=0\text{，}{x}_m=1$であるような数列$\{x_n\}$がただ一つ存在することを示せ．また，この数列について

$0<x_n<1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}m-1\text{）}$

が成り立つことを示せ．ただし$m$は$3$以上とする．

(2)　数列$\{a_n\}$と正の定数$b$が与えられ，すべての$n$について$a_n\geqq 1+b$が成り立つと仮定して，数列$\{y_n\}$に関する漸化式

(B)　$y_{n+2}-a_{n+1}{y}_{n+1}+b{y}_n=0\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．このとき，自然数$m$を一つ決めて固定すれば，漸化式(B)をみたし，$y_0=0\text{，}{y}_m=1$であるような数列$\{y_n\}$がただ一つ存在して

$0<y_n<1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}m-1\text{）}$

が成り立つことを示せ．ただし$m$は$3$以上とする．

(3)　$c$を$2$より大きな定数として，すべての$n$について$a_n\geqq c$が成り立つと仮定する．このとき，$c$から決まる$m$によらない正の定数$r$で$r<1$をみたすものが存在し，(1)で得られた数列$\{x_n\}$は

$x_n<r^{m-n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}m-1\text{）}$

をみたすことを示せ．