2003　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　次の条件(a)，(b)を同時に満たす複素数$z$をすべて求め，複素数平面上に図示せよ．ただし$\bar{z}$は$z$の共役複素数を表す．

• (a)　$|z|\leqq 1$
• (b)　$z+\bar{z}$および$z\bar{z}$はともに整数．

(2)　次の条件(c)，(d)を同時に満たす点$\mathrm{P}(p,q)$をすべて求め，座標平面上に図示せよ．

• (c)　$p\text{，}q$は整数．
• (d)　$|x|>1$を満たす任意の複素数$z$に対して$z^2-pz+q\ne 0$が成立する．

【２】　$M$を逆行列を持つ$2$次の正方行列とする．数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$を

$\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定義し，$(x_n,y_n)$を座標とする平面上の点を${\mathrm{P}}_n$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_1$が${\mathrm{P}}_0$と異なるとき，すべての自然数$n$に対して${\mathrm{P}}_n$は${\mathrm{P}}_{n-1}$と異なることを示せ．

(2)　定数$\theta$を用いて$(x_1,y_1)=(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}(x_2,y_2)=(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$と表されているとき，すべての自然数$n$に対して

$(x_n,y_n)=(\cos n\theta ,\sin n\theta )$

となることを示せ．

(3)　$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}\left({\displaystyle \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$とし，$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$をそれぞれ

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}& \overrightarrow{\mathrm{OD}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\\ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}& \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\end{array}$

を満たす点とする．ここで$\mathrm{O}$は原点を表す．以下の条件(a)，(b)，(c)がすべて成立しているとき，行列$M$を求めよ．

• (a)　すべての自然数$n$に対して，${\mathrm{P}}_n$は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$のいずれかと一致する．
• (b)　${\mathrm{P}}_1$は$\mathrm{B}$と一致する．
• (c)　${\mathrm{P}}_6$は$\mathrm{A}$とは異なる．

【３】　正の定数$a\text{，}b$に対して，曲線$C$を媒介変数$t$を用いて次式を定義する．

$C:x={\cos }^{3}t\text{，}y=b{\sin }^{3}t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}(a{\cos }^3\theta ,b{\sin }^3\theta )\text{，}0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$における$C$の接線と$x$軸および$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．このとき線分$\mathrm{QR}$の長さ$l\left(\theta \right)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{d}{d\theta }}{\{l(\theta )\}}^2$を求めよ．

(3)　曲線$C$の長さを求めよ．