2003　東京学芸大学　前期MathJax

【１】　座標平面上で，点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあって放物線$C:y=x^2+1$の上を動くとする．点$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{PH}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$原点と$\mathrm{M}$を通る直線を$l$とする．$l$が放物線$C$と共有点を持たないように$\mathrm{P}$が動くとき，$l$の傾きの範囲を求め，点$\mathrm{M}$の軌跡を図示せよ．

【２】　座標平面で第$1$象限の点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$を中心とし半径$1$の円周上にあるとする．また，点$\mathrm{A}(2,0)$を通り$x$軸に垂直な直線と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{B}(0,1)$と$\mathrm{P}$を結ぶ直線と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．さらに，線分$\mathrm{OR}$上に点$\mathrm{S}$を$\mathrm{SR}=\mathrm{AQ}$であるようにとる．このとき，直線$\mathrm{SP}$は$\mathrm{P}$の位置によらず定点を通ることを示せ．

【３】　$3$次方程式$x^3+(a-1)x^2+(2a^2-a)x-2a^2=0$について下の問いに答えよ．ただし，$a$は$0$でない実数とする．

(1)　解を表すすべての点が複素数平面上において原点を中心とする同一円周上にあるように$a$の値を定めよ．

(2)　実数でない解の$1$つを$z$とするとき，$z^4+z^2$が実数になるように$a$の値を定めよ．

【４】　$x>-1$において微分可能な関数$f(x)$が次の$2$つの条件をみたすとする．

(ⅰ)　$f(0)=0$

(ⅱ)　$x\geqq 0$において，$0\leqq f^{\prime }(x)\leqq {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}$

このとき，下の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$に対して，$1\leqq f(x)+1\leqq \sqrt{x+1}$が成り立つことを示せ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{(f(x)+1)}^{\frac{1}{x}}=1$が成り立つことを示せ．