2003　東京工業大学　前期MathJax

【１】(1)　$3$次関数$y=-x^3+a{x}^2+bx\text{（}a>0\text{）}$のグラフを$C$とする．原点を通る直線で，$C$とちょうど$2$点を共有するものを$2$本求めよ．

(2)　(1)で求めた直線のうち，傾きの大きい方を$l_1\text{，}$小さい方を$l_2$とする．$C$と$l_1$が囲む部分の面積を$S_1\text{，}C$と$l_2$が囲む部分の面積を$S_2$とおく．この二つの面積の比$S_1:S_2$を求めよ．

【２】　$2$辺の長さの比が$1:a\text{（}a>1\text{）}$の長方形がある．この長方形から$1$本の線分にそって切ることにより正方形を取り去る．残った図形が正方形でなければ，再び同じ要領で正方形を取り去り，残りが正方形でない限りこの操作を続ける．例えば，$a=3\text{，}a={\displaystyle \frac{3}{2}}$の場合はどちらも$2$回でこの操作は終わる．

(1)　$3$回でこの操作が終わるような$a$の値をすべて求めよ．

(2)　$n$回の操作で終わるような$a$の値の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．辺$\mathrm{AB}$を$x:1-x\text{（}0\leqq x<1\text{）}$の比に内分する点$\mathrm{P}$と，辺$\mathrm{AC}$を$y:1-y\text{（}0\leqq y<1\text{）}$の比に内分する点$\mathrm{Q}$をとり，線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{R}$が$▵\mathrm{AMN}$に含まれるような$(x,y)$全体を$xy$平面に図示し，その面積を求めよ．（ただし，辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$0:1$の比に内分する点とは，ともに点$\mathrm{A}$のこととする．）

【４】　関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次の漸化式により定める．

$f_1(x)=x^2\text{，}{f}_{n+1}(x)=f_n(x)+x^3{f_n}^{(2)}(x)$

ただし，${f_n}^{(k)}(x)$は$f_n(x)$の第$k$次導関数を表す．

(1)　$f_n(x)$は$(n+1)$次多項式であることを示し，$x^{n+1}$の係数を求めよ．

(2)　${f_n}^{(1)}(0)\text{，}{f_n}^{(2)}(0)\text{，}{f_n}^{(3)}(0)\text{，}{f_n}^{(4)}(0)$を求めよ．