2003　東京工業大学　後期数学MathJax

【１】　$xyz$空間の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を，$▵\mathrm{OPQ}$（$\mathrm{O}$は原点）の面積が正の一定値$S$となるように動かす．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$から$xy$平面に引いた垂線をそれぞれ$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}\mathrm{Q}{\mathrm{Q}}^{\prime }$とし，$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$の面積を$S_1$とする．ただし，$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }$が同一直線上にあるときは$S_1=0$とする．同様に$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$から$yz$平面，$zx$平面に垂線を引いて作った三角形の面積を$S_2\text{，}{S}_3$とする．

(1)　$S^2={S_1}^2+{S_2}^2+{S_3}^2$を証明せよ．

(2)　$S_1+S_2+S_3$の最大値，最小値を求めよ．

【２】　$m$を$0$以上の整数とする．直線$2x+3y=m$上の点$(x,y)$で，$x\text{，}y$がともに$0$以上の整数であるものの個数を$N(m)$とする．

(1)　$N(m+6)=N(m)+1$を証明せよ．

(2)　$N(m)=1-m+\left[{\displaystyle \frac{m}{2}}\right]+\left[{\displaystyle \frac{2m}{3}}\right]$を証明せよ．ただし，$[a]$は$a$以下の最大の整数を表すものとする．