2003　東京工業大学　後期小論文第４類MathJax

【２】　地球は，北極と南極を結ぶ方向を短軸，それと直角な方向を長軸とする偏（へん）平回転楕（だ）円体であるが，ほぼ球体と見なすことができる．世界地図を作成する場合，球面を平面に展開することは不可能であるから，方位，距離，面積などのすべてを正しく図示することはできない．そこで実際には，方位，距離，面積などのうちのいくつかを正しく図示することのできる，様々な図法が考案されている．

　さて，半径$R$の球で作られた正確な地球儀があるとする．以下では，この地球儀に基づいて，北極点を中心とし，北半球を円形に表示するいくつかの図法について考える．この種の図法では，北極点からの方位を正しく図示することができる．緯度を$({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )$（ラジアン），経度を$\phi$（ラジアン，東経を正，西経を負とする）で表せば，この種の図法において地球儀上の座標$(\theta ,\phi )$を地図上の座標$(x,y)$に対応させる式は，次のように表される．

$x=f(\theta )\sin \phi \text{，}y=-f(\theta )\cos \phi$

ここで，$f(\theta )$は地図上での北極点からの距離を表す$\theta$の関数であり，図法の種類によって様々な関数が使われる．

　以上のことを踏まえて以下の問題に答えよ．なお，解答に際しては，必要に応じて図を用いよ．

問１　$f(\theta )=R\theta$とすると北極点からの距離は正しく図示できるが，面積を正しく図示することはできない．次の(1)〜(3)のヒントを参考に，面積がどのように図示されているか説明せよ．

• (1)　地球儀上の$4$点$\mathrm{A}(\theta ,\phi )\text{，}\mathrm{B}(\theta +\Delta \theta ,\phi )\text{，}\mathrm{C}(\theta +\Delta \theta ,\phi +\Delta \phi )\text{，}\mathrm{D}(\theta ,\phi +\Delta \phi )$で囲まれる領域$\mathrm{ABCD}$の面積を求める．ただし，$\Delta \theta$および$\Delta \phi$はいずれも微小であって，領域$\mathrm{ABCD}$の面積は円弧$\mathrm{AB}$の長さと円弧$\mathrm{AD}$の長さの積に等しいと考える．
• (2)　地球儀上の$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$のそれぞれに対応する地図上の$4$点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$で囲まれる領域$\mathrm{EFGH}$の面積を求める．ただし，領域$\mathrm{EFGH}$の面積は線分$\mathrm{EF}$の長さと円弧$\mathrm{EH}$の長さの積に等しいと考える．
• (3)　地図上の領域$\mathrm{EFGH}$の面積が，正しい面積（すなわち，地球儀上の領域$\mathrm{ABCD}$の面積）の何倍になっているかを示す．

問２　問１の図法では面積を正しく図示することはできない．面積を正しく図示するためには，$f(\theta )$をどのような関数とすればよいか．なお，解答に際しては，必要に応じて問１のヒント(1)と(2)に定義してある記号や座標を用いよ．また，線分$\mathrm{EF}$の長さを求める際には，微分の考え方を用いよ．

問３　$f(\theta )=R\tan \theta$とすると，北半球の任意の$2$点間の最短経路（これを大圏コースという）を直線で図示することができる．その理由を幾何学的に説明せよ．