2003　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

【１】　ある物体は，つねに二つの状態$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のどちらかにあり，時間と共に一定の確率で変化を続けているものとする．物体が状態$\mathrm{A}$であるとき$1$秒後に状態$\mathrm{A}$である確率を${\displaystyle \frac{2}{3}}$とし，また物体が状態$\mathrm{B}$であるとき$1$秒後に状態$\mathrm{A}$である確率を${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．自然数$n$に対して，物体が初めに状態$\mathrm{A}$であるとき，$n$秒後に状態$\mathrm{A}$である確率を$p_n\text{，}$状態$\mathrm{B}$である確率を$q_n$と表す．

(1)　$p_2$および$q_2$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して関係式

$\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}\\ q_{n+1}\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)$

が成り立つような$2$次の正方行列$M$を求めよ．

(3)　以下の$2$つの等式を示せ．

• $M(M-E)={\displaystyle \frac{1}{3}}(M-E)$
• $M(M-{\displaystyle \frac{1}{3}}E)=M-{\displaystyle \frac{1}{3}}E$

ただし，ここで$E$は単位行列$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$を表す．

(4)　$X$を$2$次の正方行列，$k$を定数とし$MX=kX$であるとき，すべての自然数$n$に対して

$M^{n}X=k^{n}X$

となることを示せ．

(5)　自然数$n$に対して$M^n$を求めよ．

【２】　自然数$n$に対して$I(n)={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^{-x^2}dx$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　次の等式が成り立つことを示せ．

$I(n+2)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-1}+{\displaystyle \frac{n+1}{2}}I(n)$

(2)　次の不等式が成り立つことを示せ．

$0\leqq I(n)\leqq {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }nI(n)$を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．

(1)　$0<i<n$となる整数$i$に対して

${}_{n}C_i={}_{n-1}C_i+{}_{n-1}C_{i-1}$

となることを示せ．

(2)　$2m\leqq n$となる最大の整数$m$に対して

${\displaystyle \sum _{i=0}^m}{}_{n}C_{2i}=2^{n-1}$

となることを示せ．

(3)　$0\leqq i\leqq n-1$となる整数$i$に対して

${\displaystyle \sum _{j=0}^i}{(-1)}^j{}_{n}C_j={(-1)}^i{}_{n-1}C_i$

となることを示せ．ただし${}_{0}C_0=1$である．

【４】　$f(x)$を$x$の関数とし，すべての実数$x\text{，}y$に対して次の等式

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

が成り立っているものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(0)=0$であることを示せ．また，すべての実数$x$に対して$f(-x)=-f(x)$が成り立つことを示せ．

(2)　すべての$0$でない整数$n$に対して

$f\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)={\displaystyle \frac{f(1)}{n}}$

であることを示せ．

(3)　$f(x)$の$x=0$における微分係数$f^{\prime }(0)$が定まるとき，$f^{\prime }(0)=f(1)$となることを示せ．

【１】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とするとき，$x$の$5$次方程式

$x^5+x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

が相異なる純虚数の解を$4$つ持つための条件を求めよ．

【２】　定数$m>0$に対し，$3$つの直線

$y=2m^{2}x\text{，}y=-2m^{2}x\text{，}y=m$

で囲まれた$3$角形を$T$とする．$T$の$2$辺と接するような放物線$y=a{x}^2+b$を考える．

(1)　$b$を$a$と$m$で表せ．

(2)　この$3$角形$T$から放物線$y=a{x}^2+b$の上側の領域を除いた部分の面積$S$を$a$と$m$で表せ．

(3)　$m$は固定したままで，$a$の値を変化させたとき，$S$が最小となるような$a$の値と，そのときの$S$の値を求めよ．

（編注）2011年名古屋市立大中期薬学部【２】で改変して活用