2003　横浜国立大学　前期MathJax

【１】

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において$a=\mathrm{BC}\text{，}b=\mathrm{CA}\text{，}c=\mathrm{AB}$とする．

$a^2\cos A\sin B=b^2\cos B\sin A$

が成り立つとき，$▵\mathrm{ABC}$はどのような形か．

【１】

(2)　$n$を$6$以上の自然数とする．${(x+1)}^n$の展開式における$x^4\text{，}{x}^5\text{，}{x}^6$の係数がこの順に等差数列をなすとき，$n$およびこの等差数列の公差を求めよ．

【２】　$xy$平面上に中心$(0,1)\text{，}$半径$1$の円$C$がある．

　直線$l:px+qy=1\text{（}p>0\text{，}q>0\text{）}$が$C$に接しているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$q$を$p$を用いて表せ，

(2)　$x$軸，$y$軸および$l$で囲まれる三角形の面積を最小にするような$p\text{，}q$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=0& \\ a_{2n+1}=a_{2n}=a_n+n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

を満たす．次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}\cdots \text{，}{a}_8$を求めよ．

(2)　$n=2^m\text{（}m=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$のとき，$a_n$を$m$を用いて表せ．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$a_n<n$

であることを証明せよ．

【１】　次の定積分を計算せよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_1^e}{5}^{\log x}dx$

【１】　次の定積分を計算せよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x+1}{{(x^2+1)}^2}}dx$

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において

$a=\mathrm{BC}\text{，}b=\mathrm{CA}\text{，}c=\mathrm{AB}$

と表す．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\tan A}{a^2}}={\displaystyle \frac{\tan B}{b^2}}$が成り立つ$▵\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．

(2)　$b={\displaystyle \frac{a+c}{2}}$が成り立つ$▵\mathrm{ABC}$に対し

$\tan {\displaystyle \frac{A}{2}}\tan {\displaystyle \frac{C}{2}}$

の値を求めよ．

【３】　$xy$平面上に曲線$C:y=x^2+1$がある．点$(1,3)$を通る傾き$t$の直線と$C$との$2$つの交点の$x$座標を$\alpha$および$\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．曲線$C\text{，}x$軸，直線$x=\alpha$および直線$x=\beta$で囲まれた図形の面積を$S$で表す．次の問いに答えよ．

(1)　$S$を$t$を用いて表せ．

(2)　$S$を最小とする$t$の値を求めよ．

【５】　$xy$平面上に次の式で与えられる曲線$C$がある．

$\{\begin{array}{l}x=e^t\cos t\\ y=e^t\sin t\end{array}(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

　$C$上の点で$x$座標が最大となる点を$(x_0,y_0)$とする．

(1)　$x_0\text{，}{y}_0$を求めよ．

(2)　曲線$C$の長さを求めよ．

(3)　曲線$C\text{，}$直線$x=x_0$および$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．