2003　横浜国立大学　前期総合問題MathJax

【１】　平面上に$4$点$(-1,-1)\text{，}(-1,1)\text{，}(1,1)\text{，}(1,-1)$を頂点とする正方形$S$がある．以下の問いに答えよ．

1.　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}11$として点$(-1,1-{\displaystyle \frac{n}{6}})$と$(1,-1+{\displaystyle \frac{n}{6}})$を両端点とする線分を$11$本引いた場合，正方形$S$は何個の領域に分割されるか．

2.$\text{①}$　$n=1\text{，}2\text{，}3$として点$(-1,1-{\displaystyle \frac{n}{6}})$と$(1,-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n)$を両端点とする線分を$3$本引いた場合，正方形$S$は何個の領域に分割されるか．

$\text{②}$　さらに，$n=4$として，線分を追加すると，領域は何個増えるか．

3.　右図のように，正方形$S$の上と右の辺を等分し，$100$本の線分を引く．$n$番目の線分の両端点の座標を$(x_n,1)\text{，}(1,y_n)$とおく．ただし，$n=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}99$であり，$x_0=y_{99}=-1\text{，}{y}_0=x_{99}\ne 1$とする．

$\text{①}$　この場合，正方形$S$は何個の領域に分割されるか．

$\text{②}$　$x_n$と$y_n$を表す式を求めよ．

注意：右図は題意を示唆するためのもので，線分は$11$本しか引かれていない．