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2003-10301-0301
2003 横浜国立大学 後期
経済,経営学部
易□ 並□ 難□
【1】 原点 O の xy 平面上に定点 A( 1,0) ,B( 0,1) と動点 P (0, t) がある.
α=AP+ OP, β=AP- OP
とするとき,次の問いに答えよ.
(1) t の値にかかわらず, α⁢β の値は一定であることを示せ.
(2) 0<t< 1 のとき, 3⁢AP+ 2⁢BP を α ,β の式で表せ.
(3) t がすべての実数値をとるとき, 3⁢AP+ 2⁢BP の最小値とそのときの t の値を求めよ.
2003-10301-0302
【2】 θn (n =1 ,2 ,3 ,⋯ ) を tanθn= 1n ( -90° <θn <90 °) で定めるとき,次の問いに答えよ.
(1) tan⁡( θ1+ θ 2) ,tan⁡ (θ1 -θ2 ) の値をそれぞれ求めよ.
(2) tan⁡( θn- θn+ 1)= tan⁡θ 111 となる n を求めよ.
(3) tan⁡( θ2+ θi+ θj) =1 を満たす組 (i, j) で i≦ j であるものをすべて求めよ.
2003-10301-0303
経済・経営学部
【3】 a ,b を実数とする. 2 つの関数
f⁡(x )=3 ⁢(a- b)⁢x +a+b
g⁡(x )=3 ⁢(a+ b)⁢x +a+3 ⁢b
について,次の問いに答えよ.
(1) ∫ -11 ⁡f⁡ (x)⁢ g⁡(x )⁢d x を求めよ.
(2) ∫ -11 ⁡ {f⁡( x)}2 ⁢dx ≦1 となるための a ,b の条件を求めよ.また,その条件を満たす点 (a, b) の範囲を図示せよ.
(3) a ,b が(2)で求めた条件を満たすように変化するとき,(1)の定積分のとりうる値の範囲を求めよ.
2003-10301-0304
【4】 a ,b を 0 でない複素数とする. x の方程式
(ア) x2+ |a | ⁢x-| b|= 0
(イ) x2- |a |⁢ x-| b|= 0
について,(ア)の正の実数解を r1 ,(イ)の正の実数解を r2 とするとき,次の問いに答えよ.
(1) r1 ,r2 をそれぞれ求めよ.
(2) r2 と r2 の大小を比較せよ.
(3) 複素数 z が
z2+ a⁢z+ b=0
を満たすとき, r1 ,r2 , |z | の大小を比較せよ.必要ならば,任意の複素数 a , z について不等式
|z| -|a |≦| z+a| ≦|z |+| a|
が成り立つことを用いてもよい.
2003-10301-0305
工学部
【1】 次の定積分を計算せよ.
(1) ∫ 116 ⁡ dx x+ x4
2003-10301-0306
(2) ∫ 0π3 ⁡ dxsin ⁡x+3 ⁢cos⁡ x
2003-10301-0307
【2】 xy 平面上に 2 つの曲線
C1: y=x2
C2: y=2⁢ x2- 4⁢x+ 3
がある. C1 上の点 P1 における C1 の接線の傾きと C2 上の点 P2 における C2 の接線の傾きが一致するとき, P1 と P2 を通る直線をひく.このようにして得られたすべての直線は定点を通ることを示せ.また,その定点の座標を求めよ.
2003-10301-0308
【3】 xy 平面上に曲線 C: x 2a2 + y 2b2 =1 ( a ,b は正の定数)があり,点 P (s, t ) は C 上を動く.ただし s⁢ t≠0 とする. P における C の接線が x 軸および y 軸と交わる点をそれぞれ Q ,R とする.次の問いに答えよ.
(1) Q および R の座標を s ,t を用いて表せ.
(2) 線分 QR の長さの最小値を求めよ.
2003-10301-0309
【4】 複素数 z (z ≠i ) に対し,複素数 w を
w= zi⁢z +1
で定める.次の問いに答えよ.
(1) z が複素数平面内の原点を通る直線 l 上を(ただし l が点 i を含む場合にはこの点を除いて)動くとき, w は同じ直線 l 上を動く.このような直線 l を求めよ.
(2) 実数 a に対し |z -a| =|a | であるとき, |w- a|= |a | が成り立つことを示せ.
2003-10301-0310
【5】 関数 f⁡ (x) は次の 2 条件(ア),(イ)を満たしている.
(ア) 0≦x≦ 1 のとき f⁡ (x)= x
(イ) すべての実数 x に対して f⁡ (x+1 )=-f ⁡(x) +1
このとき,次の問いに答えよ.
(1) 0≦x≦ 4 における f⁡ (x) のグラフをかけ.
(2) ∫ 02 ⁡e- x⁢f ⁡(x) ⁢dx の値を求めよ.
(3) n が自然数をとりながら動くときの極限値
limn→ ∞⁡ ∫ 02⁢ n⁡ e-x ⁢f⁡ (x)⁢ dx
を求めよ.