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2003-10421-0101
2003 信州大学 前期 教育学部
数学 ①
配点75点
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b ,c ,d を正の実数とするとき, 2 次方程式
x2- (a+b )⁢x+ a⁢b- c⁢d= 0
について,次の各問に答えよ.
(1) 異なる 2 実数解をもつことを示せ.
(2) 2 つの解のうち少なくとも 1 つは必ず正の数であることを示せ.
(3) 2 つの解を α ,β とし 0< α<β とするとき, a ,a+ b, α, β の大小関係を示せ.
2003-10421-0102
【2】 半径 r の円 O がある.四角形 ABCD がこの円に内接し,その 4 辺の長さがそれぞれ AB= 1, BC=2 , CD=5 , DA=6 であるとき,次の各問に答えよ.
(1) ∠ABC= θ とおくとき, cos⁡θ の値を求めよ.
(2) 半径 r の値を求めよ.
(3) ▵AOC の面積は ▵ABC の面積の何倍か.
2003-10421-0103
【3】 数列 {an } を
a1= 2, an+ 1= 9 ⁢an +1 an+9 (n ≧1 )
と定める.
(1) bn= an-1 an +1 とおくとき {b n} は等比数列であることを示し,一般項 bn を求めよ.
(2) 一般項 an を求め, an< 25 24 が成りたつ最小の n を求めよ.なお,計算には
log10⁡ 2=0.3010 ,log10 ⁡3= 0.4771, log10⁡ 7=0.8451
を用いよ.
2003-10421-0104
【4】 t を 1≦ t≦2 の実数とし,関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )=x 3-3 ⁢(1+ t)⁢ x2+ 12⁢t⁢ x
とする. 0≦x≦ 4 における f⁡ (x) の最大値を g⁡ (t) とするとき ∫1 2⁡ g⁡(t )⁢d t を求めよ.
2003-10421-0105
数学 ②
【1】 座標平面上に 2 つの円 C1 :(x -2)2 +y2 =1 ,C2 :x2 +( y-2) 2=1 がある.
(1) C1 上の点 Q1 から接線 l1 を引き, l1 上に点 P( u,v) をとる.線分 P Q1 の長さを u , v を用いて表せ.
(2) C1 上の点 Q1 から引いた接線と C2 上の点 Q2 から引いた接線との交点を P とし, PQ 12 :PQ 22 =m:n ( m> 0, n>0 ) とする.このとき P の軌跡を求めよ.
2003-10421-0106
【2】 z を z3 =1 , z≠1 を満たす複素数とする. p ,q を複素数として wn を次のように定めるとき,下の各問に答えよ.
wn= p⁢zn +q⁢ z2⁢ n (n =1, 2, 3, ⋯), w1= 1, w1= 2
(1) wn+ 2+ wn+1 +w n=0 ( n= 1, 2, 3, ⋯) であることを示せ.
(2) p ,q を z で表し p ‾=q であることを示せ.ただし, p‾ は p の共役複素数を表す.
(3) wn はすべての n について実数であることを示せ.
2003-10421-0107
数学 ③
【1】 関数 f⁡ (x)= x2⁢ 1-x 2 (0 ≦x≦1 ) について次の各問に答えよ.
(1) 極値を求めて, y=f⁡ (x) のグラフの概形をかけ.
(2) グラフと x 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ.
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【2】 3 次行列
A=( a bc 0a b 00 a )
に対して
D=( a 00 0a 0 00 a ), J=( 0 bc 00 b 00 0)
とおく.次の各問に答えよ.
(1) J3 を求めよ.
(2) 任意の自然数 n≧ 2 に対して
(D+ J)n =D n-2 ⁢( D2+ n⁢D⁢ J+ n⁢(n -1)2 ⁢ J2 )
が成りたつことを示せ.ただし, D0= E (単位行列)とする.
(3) a=b= c=1 とするとき, ∑ k=1 n⁡ Ak を求めよ.
専攻別数学選択方法推定
学校教育教員養成課程
教育実践科学,社会科学教育専攻 数学 ①
理数科学専攻 数学 ② のみか,数学 ③のみか,数学 ②と ③から選択
生活科学専攻 数学 ①のみか,数学 ②のみか,数学 ③のみか,数学 ②と ③から選択
教育カウンセリング課程
心理臨床専攻 数学 ①のみか,数学 ②と ③から選択