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2003 信州大学 前期 教育学部

数学

配点75点

易□ 並□ 難□

【1】  a b c d を正の実数とするとき, 2 次方程式

x2- (a+b )x+ ab- cd= 0

について,次の各問に答えよ.

(1) 異なる 2 実数解をもつことを示せ.

(2)  2 つの解のうち少なくとも 1 つは必ず正の数であることを示せ.

(3)  2 つの解を α β とし 0< α<β とするとき, a a+ b α β の大小関係を示せ.

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【2】 半径 r の円 O がある.四角形 ABCD がこの円に内接し,その 4 辺の長さがそれぞれ AB= 1 BC=2 CD=5 DA=6 であるとき,次の各問に答えよ.

(1)  ABC= θ とおくとき, cosθ の値を求めよ.

(2) 半径 r の値を求めよ.

(3)  AOC の面積は ABC の面積の何倍か.

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【3】 数列 {an }

a1= 2 an+ 1= 9 an +1 an+9 n 1

と定める.

(1)  bn= an-1 an +1 とおくとき {b n} は等比数列であることを示し,一般項 bn を求めよ.

(2) 一般項 an を求め, an< 25 24 が成りたつ最小の n を求めよ.なお,計算には

log10 2=0.3010 log10 3= 0.4771 log10 7=0.8451

を用いよ.

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【4】  t 1 t2 の実数とし,関数 f (x)

f(x )=x 3-3 (1+ t) x2+ 12t x

とする. 0x 4 における f (x) の最大値を g (t) とするとき 1 2 g(t )d t を求めよ.

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【1】 座標平面上に 2 つの円 C1 :(x -2)2 +y2 =1 C2 :x2 +( y-2) 2=1 がある.

(1)  C1 上の点 Q1 から接線 l1 を引き, l1 上に点 P( u,v) をとる.線分 P Q1 の長さを u v を用いて表せ.

(2)  C1 上の点 Q1 から引いた接線と C2 上の点 Q2 から引いた接線との交点を P とし, PQ 12 :PQ 22 =m:n m> 0 n>0 とする.このとき P の軌跡を求めよ.

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【2】  z z3 =1 z1 を満たす複素数とする. p q を複素数として wn を次のように定めるとき,下の各問に答えよ.

wn= pzn +q z2 n n =1 2 3 ), w1= 1 w1= 2

(1)  wn+ 2+ wn+1 +w n=0 n= 1 2 3 であることを示せ.

(2)  p q z で表し p =q であることを示せ.ただし, p p の共役複素数を表す.

(3)  wn はすべての n について実数であることを示せ.

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数学

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【1】 関数 f (x)= x2 1-x 2 0 x1 について次の各問に答えよ.

(1) 極値を求めて, y=f (x) のグラフの概形をかけ.

(2) グラフと x 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ.

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【2】  3 次行列

A=( a bc 0a b 00 a )

に対して

D=( a 00 0a 0 00 a ) J=( 0 bc 00 b 00 0)

とおく.次の各問に答えよ.

(1)  J3 を求めよ.

(2) 任意の自然数 n 2 に対して

(D+ J)n =D n-2 ( D2+ nD J+ n(n -1)2 J2 )

が成りたつことを示せ.ただし, D0= E (単位行列)とする.

(3)  a=b= c=1 とするとき, k=1 n Ak を求めよ.

専攻別数学選択方法推定

学校教育教員養成課程

 教育実践科学,社会科学教育専攻 数学

 理数科学専攻 数学 のみか,数学 のみか,数学 から選択

 生活科学専攻 数学 のみか,数学 のみか,数学 のみか,数学 から選択

教育カウンセリング課程

 心理臨床専攻 数学 のみか,数学 から選択

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