2003　信州大学　前期　経済，理，医学部MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$が

$a_1=1\text{，}{\displaystyle \frac{a_n-2a_{n+1}}{n}}=2a_n{a}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されているとき，次の問に答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して$a_n>0$が成り立つことを示せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，数列$\{b_n\}$のみたす漸化式を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　原点$\mathrm{O}$を出発して$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$は$1$つのさいころを投げるごとに右（正方向）か左（負方向）へ$1$進む．

　出発点$\mathrm{O}$を${\mathrm{P}}_0$とし，さいころを$k$回投げるときに点$\mathrm{P}$が動いた点を順に${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_k$とする．このとき，${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{k-1}$を点$\mathrm{P}$が通った点とよぶことにする．

　点$\mathrm{P}$が座標$a$の点にいるとき，$\mathrm{P}$は次の規則に従って動くものとする．

(ア)　点$\mathrm{P}$が座標$a+1$と$a-1$の$2$点とも通ったことがあるか，または一度も通ったことがなければ，$1\text{，}2\text{，}3$の目で左へ$1$動き，$4\text{，}5\text{，}6$の目で右へ$1$動く．

(イ)　点$\mathrm{P}$が座標$a-1$の点のみ通ったことがあり$a+1$の点は通ったことがないときには，$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の目で左へ$1$動き，$5\text{，}6$の目で右へ$1$動く．

(ウ)　点$\mathrm{P}$が座標$a+1$の点のみ通ったことがあり$a-1$の点は通ったことがないときには，$1\text{，}2$の目で左へ動き，$3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$の目で右へ$1$動く．

　たとえば，$1$回目にさいころを投げたときには，点$\mathrm{P}$は座標が$1$と$-1$のどちらの点も通ったことがないので，(ア)の規則から左右どちらかに同じ確率で$1$動く．その結果右に動いたとすれば，次にさいころを投げるときには(イ)の規則によって$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の目で左へ$1$動き，$5\text{，}6$の目で右へ$1$動く．

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　さいころを$2$回投げたあとで，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率を求めよ．

(2)　さいころを$6$回投げたあとで，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率を求めよ．

【３】　$n$を自然数とするとき次の等式を証明せよ．ただし$\sin {\displaystyle \frac{\beta }{2}}\ne 0$とする．

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}\sin (\alpha +k\beta )={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{n\beta }{2}}\sin (\alpha +{\displaystyle \frac{n-1}{2}}\beta )}{\sin {\displaystyle \frac{\beta }{2}}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}\cos (\alpha +k\beta )={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{n\beta }{2}}\cos (\alpha +{\displaystyle \frac{n-1}{2}}\beta )}{\sin {\displaystyle \frac{\beta }{2}}}}$

【４】　図のように地面上の点$\mathrm{O}$の真上に長さ$b$の棒$\mathrm{AB}$が地面に垂直になるようにつるしてあり，その下端$\mathrm{A}$は地面から高さ$a$のところにある．ただし$a>0$とする．この棒を地面上を動く点$\mathrm{P}$から観測する．このとき$\angle \mathrm{BPA}$が最大になる点$\mathrm{P}$に対し$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．なお地面は水平面とみなす．

【５】　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$の定義は以下の式で与えられる．

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

　たとえば，関数$3x^2$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めると以下のようになる．

${(3x^2)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{3{(x+h)}^2-3x^2}{h}}=\underset{h\to 0}{\lim }(6x+3h)=6x$

　導関数の定義式を用いて，対数関数${\log }_{a}x$の導関数は

${({\log }_{a}x)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x\log a}}$

で与えられることを示せ．ただし，$a>0$かつ$a\ne 1$とし，$x>0$とする．ここで，$\log a$は$a$の自然対数であり，その底は$e=\underset{h\to 0}{\lim }{(1+h)}^{\frac{1}{h}}$で与えられる．

【６】　正の数$a\text{，}b\text{，}c$は$a<b<c$の関係にあり，$3a+c\ne 4b$とする．$f(x)=-\log x$とおくとき，座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(a,f(a))\text{，}\mathrm{B}(b,f(a))\text{，}\mathrm{C}(c,f(a))\text{，}\mathrm{D}(c,f(c))$を定める．線分$\mathrm{AC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{B}$を通る$y$軸に平行な直線が曲線$y=f(x)$と交わる点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{M}$を通る$y$軸に平行な直線が線分$\mathrm{AD}$に交わる点を$\mathrm{F}$とする．

　次に，線分$\mathrm{BM}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\mathrm{N}$を通る$y$軸に平行な直線が線分$\mathrm{EF}$および曲線$y=f(x)$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$および$\mathrm{Q}$とする．

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$は下に凸であることを示せ．

(3)　(1)，(2)を用いて

$a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{3}}{c}^{\frac{1}{6}}<{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{b}{3}}+{\displaystyle \frac{c}{6}}$

を示せ．

【７】　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|1-\sqrt{2}-2{\sin }^2\theta -2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta |d\theta$

の値を求めよ．