2003　信州大学　後期　教育学部MathJax

【１】　複素数$z=x+iy$は実部が正で，$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$が実数であるとする．次の各問に答えよ．

(1)　複素数平面上で$z$がえがく図形を図示せよ．

(2)　$z$が(1)の図形上を動くとき

$x^2+y^2=x-y-xy$

の最小値と，そのときの$z$の値を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺を$\mathrm{BC}=1\text{，}\mathrm{CA}=x\text{，}\mathrm{AB}=x^2$とし，$\cos A\text{，}\cos B\text{，}\cos C$を$x$で表した関数をそれぞれ$f\left(x\right)\text{，}g\left(x\right)\text{，}h\left(x\right)$とする．右の図は$f\left(x\right)\text{，}g\left(x\right)\text{，}h\left(x\right)$のグラフの概形である．

(1)　点線のグラフは$f\left(x\right)\text{，}g\left(x\right)\text{，}h\left(x\right)$のうちどの関数か．理由をつけて答えよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$が直角三角形になるとき$x$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=(1-x)e^{-(x+1)}$について，次の各問に答えよ．

(1)　極値と変曲点を求めて，この関数のグラフの概形をかけ．

(2)　$y=f(x)$上の点$(0,{\displaystyle \frac{1}{e}})$における接線と$x$軸，$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$とする．次の各問に答えよ．

(1)　行列$Z$が$ZA=AZ\text{，}ZB=BZ$を満たすならば，$Z$は単位行列の実数倍であることを証明せよ．

(2)　$E$を単位行列とし，$X\text{，}Y$を

$XA+AX=E\text{，}XB+BX=E\text{，}YA+AY=E\text{，}YB+BY=E$

を満たす行列とする．このとき，$XY+YX$は単位行列の実数倍であることを証明せよ．