2003　信州大学　後期　理学部数IAIIBMathJax

【１】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b)$をとる．ただし$a>0\text{，}b>0$であるとする．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}\text{，}y$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　グラフが$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{Q}$を通るような$2$次関数の式を求めよ．

(2)　グラフが$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{R}$を通るような$2$次関数の式を求めよ．

(3)　(1)で求めた$2$次関数のグラフが$x$軸と交わる$\mathrm{A}$以外の点を$\mathrm{S}\text{，}$(2)で求めた$2$次関数のグラフが$x$軸と交わる$\mathrm{A}$以外の点を$\mathrm{T}$とする．線分$\mathrm{ST}$ の長さを求めよ．

【２】　駅の切符売り場に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}2$つの窓口があるとする．切符を買うために並んでいる人達には$2$つのタイプがあるとする．一方は乗る電車を決めていて窓口処理が$2$分ですむタイプ，他方は窓口の人と相談するため窓口処理が$10$分かかるタイプとする．$2$分ですむタイプと$10$分かかるタイプはそれぞれ客の${\displaystyle \frac{9}{10}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{10}}$の割合だとする．$2$分ですむタイプの$\mathrm{F}$君が切符と買って電車に乗ろうとしている．$\mathrm{F}$君の乗りたい電車の発車時刻が迫っている．$13$分以内に切符が手に入らないと乗りそこなう．

(1)　それぞれの窓口の前に列ができているとし，$\mathrm{F}$君の並んでいる窓口$\mathrm{A}$の列には，$\mathrm{F}$君の前に$2$人の人が並んでいるとする．$\mathrm{F}$君が電車に間に合う確率を求めよ．また，$\mathrm{F}$君が切符を手に入れるまでにかかる時間の期待値を求めよ．ただし，窓口$\mathrm{A}$の列に並んでいる人は窓口$\mathrm{B}$の列には移動しないとする．

(2)　客は一列に並んで先頭の人から空いた窓口に進むとする．$\mathrm{F}$君の前には$4$人並んでいるとし，今，そのうちの最初の$2$人の窓口処理が始まったところだとする．このとき，$\mathrm{F}$君が電車に間に合う確率を求めよ．また，$\mathrm{F}$君が切符を手に入れるまでにかかる時間の期待値を求めよ．

【３】　点$(u,v)$が不等式${(u+1)}^2+{(v-1)}^2\leqq 2$の表す領域を動くとする．このとき，点$(u-v,uv)$の動く範囲を図示し，その面積を求めよ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )$を考える．

${\mathrm{PO}}^2+{\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=s+2$

をみたす座標平面上の点$\mathrm{P}$の軌跡$C$は円になることを示せ．ただし，$s>0$とする．

(2)　(1)で$s=2-{\displaystyle \frac{4}{3}}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$とし，$\theta$を$0°\leqq \theta \leqq 180°$の範囲で動かすとき，円$C$の半径$r$の最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．