2003　信州大学　後期　理学部数IIICMathJax

【１】　媒介変数$\theta$で表されたサイクロイド

$x=a(\theta -\sin \theta )\text{，}y=a(1-\cos \theta )\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

と$x$軸とで囲まれた図形を，$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．ただし，$a$は正の定数とする．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^a}{e}^x(x-\sin x)dx$を求めよ．ただし，$a\geqq 0$とする．

(2)　$n$を自然数とするとき，不等式

$0<{\displaystyle \frac{e^n}{2}}(2n-2+\cos n-\sin n)+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}k{e}^k+{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{e}^k\sin k<n{e}^n-e^n\sin n$

を示せ．