2003　信州大学　後期　繊維学部MathJax

2003　信州大学　後期　繊維学部

易□　並□　難□

【１】　つぎの問いに答えよ．

(1)　 $x$ 軸上の $2$ つの点 $A (a, 0) ， B (- a, 0)$ からの距離の比が $1 : 2$ である点 $P$ の軌跡を表わす $x ， y$ の方程式を求め，その軌跡の形を正確に述べよ．ただし， $a > 0$ とする．

(2)　前問の点 $P$ の軌跡上の点 $(x_{0}, y_{0})$ における接線の方程式を求めよ．

(3)　点 $(x_{0}, y_{0})$ における法線の方程式を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　 $0 ° ≦ x < 360 °$ のとき，つぎの不等式を解け．

$\cos x + \cos 2 x + \cos 3 x > 0$

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易□　並□　難□

【３】　関数 $y = {(\log x)}^{2}$ について，つぎの問いに答えよ．

(1)　この関数の極値を求め，この関数の表わす曲線の概形をかけ．

(2)　この関数の表わす曲線の変曲点を求めよ．また，この変曲点における接線の方程式を求めよ．

(3)　この曲線と(2)で求めた接線および $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

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易□　並□　難□

【４】　 $x > 0$ で， $n$ が負でない整数のとき，

$f_{n} (x) = \frac{1}{x^{n + 2}} e^{- \frac{1}{x}} ， F_{n} (x) = \int_{0}^{x} f_{n} (t) d t$

とおく．

(1)　 $f_{n} (x)$ の極値を求めよ．

(2)　 $F_{0} (x)$ を求めよ．

(3)　 $F_{n} (x)$ と $F_{n - 1} (x)$ の関係を漸化式で表わし， $F_{1} (x)$ と $F_{2} (x)$ を求めよ．