2003　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$▵\mathrm{OAB}$の頂角$\angle \mathrm{O}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{OA}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$とする．以下では，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．

(1)　$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$\left|\overrightarrow{a}\right|:\left|\overrightarrow{b}\right|$に内分する点であることを証明せよ．

(2)　線分の長さ$\mathrm{OQ}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【２】　放物線$C:y=a{x}^2\text{（}a>0\text{）}$を考える．放物線$C$上の点$\mathrm{P}(p,a{p}^2)\text{（}p\ne 0\text{）}$における$C$の接線と直交し，$\mathrm{P}$を通る直線を$l$とする．直線$l$と放物線$C$とで囲まれる図形の面積を$S(\mathrm{P})$とする．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を$p>0$の範囲で動かす．$S(\mathrm{P})$が最小となるときの，直線$l$の傾き$m$と$S(\mathrm{P})$を求めよ．

【３】　$n$を自然数とするとき，$m\leqq n$で$m$と$n$の最大公約数が$1$となる自然数$m$の個数を$f(n)$とする．

(1)　$f(15)$を求めよ．

(2)　$p\text{，}q$を互いに異なる素数とする．このとき$f(pq)$を求めよ．

【４】　一つの箱の中に$1$から$10$までの数が書かれたカードが$4$枚ずつ計$40$枚入っている．この箱から$k$枚（$3\leqq k\leqq 12$）のカードを同時に取り出す．このうちの$3$枚のカードが同じ数で残りはこれとは違う互いに異なる数となる確率を$p(k)$とする．

(1)　$p(k)$を求めよ．

(2)　$4\leqq k\leqq 12$のとき，$f(k)={\displaystyle \frac{p(k-1)}{p(k)}}$を求めよ．

(3)　$p(k)$を最大にする$k$の値を求めよ．

【５】　$a$を$0$でない実数とする．座標平面上の点列$\{{\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)\}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．$(x_n,y_0)=(0,0)\text{，}$

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2a^2& a\\ 2a^3& -3a^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ a\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　${\mathrm{P}}_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$の座標を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_n={\mathrm{P}}_1$となる$n\geqq 2$が存在するための$a$の条件を求めよ．そのときの点列をすべて求めよ．

【１】　$2$次方程式$x^2-px-q=0$は実数解$\alpha \text{，}\beta$を持つものとする．座標平面上の点列$\{{\mathrm{P}}_n(a_n,b_n)\}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．$(a_0,b_0)=(0,0)\text{，}$

$\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}q& p\\ pq& p^2+q\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_{n-1}\\ b_{n-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ \alpha \end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$の座標を$\alpha$のみを用いて表せ．

(2)　${\mathrm{P}}_n$の座標を$\alpha$のみを用いて表せ．

(3)　$n\to \infty$のとき，${\mathrm{P}}_n(a_n,b_n)$がある点$\mathrm{P}(a,b)$に収束するための必要十分条件を$\alpha$に関する条件として与え，その点$\mathrm{P}(a,b)$を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の，半径$1$の円周$A:x^2+y^2=1$と直線$l:y=d\text{（}0<d<1\text{）}$との交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．円周$A$上の点$\mathrm{R}(x,y)$は$y>d$の範囲を動く．線分$\mathrm{OR}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$S\text{，}$点$\mathrm{R}$から線分$\mathrm{PQ}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{T}$とするとき，線分$\mathrm{ST}$の長さの最大値を$d$を用いて表せ．

【３】　サイコロを$n$回投げて，$3$の倍数が$k$回出る確率を$P_n(k)$とする．各$n$について，$P_n(k)$を最大にする$k$を$N(n)$とする．ただし，このような$k$が複数あるときは，最も大きいものを$N(n)$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}}$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，${\displaystyle \frac{N(n)}{n}}$を最小にする$n$と，そのときの${\displaystyle \frac{N(n)}{n}}$の値を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{N(n)}{n}}$を求めよ．

【４】(a)(1)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=a\text{，}\mathrm{BC}=\mathrm{AD}=b\text{，}\mathrm{BD}=c\text{，}\mathrm{AC}=d$とする．このとき，$a^2+b^2={\displaystyle \frac{1}{2}}(c^2+d^2)$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$3$つの正数$a\text{，}b\text{，}c\text{（}0<a\leqq b\leqq c\text{）}$が$a^2+b^2>c^2$を満たすとき，各面の三角形の辺の長さを$a\text{，}b\text{，}c$とする四面体が作れることを証明せよ．

【４】(b)　各点で微分可能な関数$y=f(x)$のグラフが右の図で与えられている．このとき，$y=f^{\prime }(x)$と$y={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$のグラフの概形を解答欄の所定の位置に描け．また，そのようなグラフを描いたポイントを列挙して説明せよ．