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【1】 座標平面上に,原点点からの距離がである点(この点の座標は正の値とする)の点からなる二等辺三角形を考える.ここで,とする.この二等辺三角形に内接する円の中心をとし,半径をとする.この円に外接する台形を考え(点は辺上,点は辺上にあるものとする).辺に関して点を対称移動した点をとおく.つぎにの内接円を描き,その中心を半径をとする.同様の作業を回繰り返してできるおよびその内接円(中心を半径をとする)を考える(右図参照).ここで,辺の長さをとする.次の各問に答えよ.
(1) をおよびを用いて表せ.
(2) をおよびを用いて表せ.
(3) 点の座標をおよびを用いて表せ.
(4) の内接円の面積をおよびを用いて表せ.
(5) をおよびを用いて表せ.
【4】 円周上に個の異なる点をとり,これら個の点を要素とする集合をとする(ただし,).内のすべての異なる点間に線分を引くものとする.各線分を各々独立に,赤,青,黄のいずれかに等確率で着色する.つぎの(1)〜(6)の各問に答えよ.
(1) 上記の線分の数を求めよ.
(2) すべての線分が同一色で着色されている確率を求めよ.
いま事象を
内の任意の点を結ぶ線分のすべてが,同一色で着色されている
内の任意の点を結ぶ線分のすべてが,同一色で着色されている
内の任意の点を結ぶ線分のすべてが,同一色で着色されている
内の任意の点を結ぶ線分のすべてが,同一色で着色されている
とする.
また事象を
内のどの個の点を選んでも,それらを結んでいる線分の色は色以上である
とする.
(3) 事象の起こる確率を求めよ.
(4) の余事象について,確率を求めよ.
(5) 事象および記号を使って,事象を表現せよ.
(6) 「和事象の確率は,常に個々の事象の確率の和以下である」ことを用いて,であることを示せ.