2003　名古屋大学　後期MathJax

【１】(1)　正数$a\text{，}b$に対して，${\displaystyle \frac{a^3+b^3}{2}}$と${\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^3$の大小を比較せよ．

(2)　$\sqrt[3]{10}$と$\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3}{2}}}+1$の大小を比較せよ．

【２】(1)　$a\text{，}b$を実数とし$-2\leqq a\leqq 2$とする．$2$つの放物線$y=-x^2+9$と$y={(x-a)}^2+b$が$-3\leqq x\leqq 3$の範囲で共有点をもつとき，$(a,b)$の動きうる領域$D$を$ab$平面内に図示せよ．

(2)　領域$D$の面積を求めよ．

【３】(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の文字がそれぞれ$2$面に書かれたサイコロを，$\mathrm{A}$の面が$2$回出るまで繰り返し投げる．ちょうど$n$回投げたところで，$2$回目の$\mathrm{A}$の面が出る確率$p_n$を求めよ．

(2)　(1)のサイコロを$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君が交互に投げ，$\mathrm{A}$君は$\mathrm{A}$の面を，$\mathrm{B}$君は$\mathrm{B}$の面を，先に$2$回出した方が勝ちとする．サイコロは$\mathrm{A}$君が先に投げるものとする．$\mathrm{A}$君がサイコロをちょうど$n$回投げたときに$\mathrm{A}$君の勝ちが決まる確率$q_n\text{，}$および$\mathrm{B}$君がサイコロをちょうど$n$回投げたときに$\mathrm{B}$君の勝ちが決まる確率$r_n$を求めよ．

【２】(1)　$0<\alpha <\beta \leqq \pi$のとき，${\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\alpha }}>{\displaystyle \frac{\sin \beta }{\beta }}$を示せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，$2\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}$のとき$a>{\displaystyle \frac{b}{2}}>{\displaystyle \frac{c}{3}}$を示せ．ただし，$a=\mathrm{BC}\text{，}b=\mathrm{CA}\text{，}c=\mathrm{AB}$である．

【３】(a)　$n$個の任意の実数$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$に対して，下の不等式のいずれかが成立することを証明せよ．

$|\sin x_1\sin x_2\cdots \sin x_n|\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)}^n\text{，}$$|\cos x_1\cos x_2\cdots \cos x_n|\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)}^n\text{．}$

【３】(b)(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の文字がそれぞれ$2$面に書かれたサイコロを，$\mathrm{A}$の面が$2$回出るまで繰り返し投げる．ちょうど$n$回投げたところで，$2$回目の$\mathrm{A}$の面が出る確率$p_n$を求めよ．

(2)　(1)のサイコロを$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君が交互に投げ，$\mathrm{A}$君は$\mathrm{A}$の面を，$\mathrm{B}$君は$\mathrm{B}$の面を，先に$2$回出した方が勝ちとする．サイコロは$\mathrm{A}$君が先に投げるものとする．$\mathrm{A}$君がサイコロをちょうど$n$回投げたときに$\mathrm{A}$君の勝ちが決まる確率$q_n\text{，}$および$\mathrm{B}$君がサイコロをちょうど$n$回投げたときに$\mathrm{B}$君の勝ちが決まる確率$r_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{r_n}{q_n}}$を求めよ．

【１】　座標平面上に，原点$\mathrm{O}\text{，}$点${\mathrm{A}}_0(l_0,0)\text{，}\mathrm{O}$からの距離が$l_0$である点${\mathrm{B}}_0$（この点の$y$座標は正の値とする）の$3$点からなる二等辺三角形$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0$を考える．ここで，$\angle {\mathrm{A}}_0\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0=2\theta$とする．この二等辺三角形$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0$に内接する円の中心を${\mathrm{I}}_0$とし，半径を$r_0$とする．この円に外接する台形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0{\mathrm{A}}_1{{\mathrm{B}}_1}^{\prime }$を考え（点${\mathrm{A}}_1$は辺$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0$上，点${{\mathrm{B}}_1}^{\prime }$は辺$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0$上にあるものとする）．辺$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0$に関して点${{\mathrm{B}}_1}^{\prime }$を対称移動した点を${\mathrm{B}}_1$とおく．つぎに$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$の内接円を描き，その中心を${\mathrm{I}}_1\text{，}$半径を$r_1$とする．同様の作業を$n$回繰り返してできる$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$およびその内接円（中心を${\mathrm{I}}_n\text{，}$半径を$r_n$とする）を考える（右図参照）．ここで，辺$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n$の長さを$l_n$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$r_0$を$l_0$および$\theta$を用いて表せ．

(2)　$l_n$を$l_0\text{，}\theta$および$n$を用いて表せ．

(3)　点${\mathrm{A}}_n$の座標$(x_n,y_n)$を$l_0\text{，}\theta$および$n$を用いて表せ．

(4)　$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$の内接円の面積$S_n$を$l_0\text{，}\theta$および$n$を用いて表せ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=0}^n}{S}_i$を$l_0$および$\theta$を用いて表せ．

【２】　$a>1\text{，}b>0\text{，}{a}^2-b^2=1$の場合，媒介変数$\theta$を用いて

$x={\displaystyle \frac{b}{a-\cos \theta }}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sin \theta }{a-\cos \theta }}\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

で表される座標平面上の曲線$C$についてつぎの各問に答えよ．

(1)　曲線$C$の方程式を求め，図示せよ．

(2)　曲線$C$上の点でその$y$座標が最大となる点$\mathrm{P}(x_{\mathrm{P}},y_{\mathrm{P}})$を求めよ．

(3)　曲線$C$上の点$\mathrm{A}$における接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，点$\mathrm{A}$の座標$(x_{\mathrm{A}},y_{\mathrm{A}})$を求めよ．

(4)　原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}(x_{\mathrm{A}},0)$を頂点とする$▵\mathrm{OAB}$の面積を最大とする$a\text{，}b$の値を求め，このときの点$\mathrm{A}$の座標と$▵\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

【３】　$x^2+y^2=a^2$で表される図形の$y\leqq 0$の部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる容器$\mathrm{A}$と，${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$で表される図形の$y\leqq 0$の部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる容器$\mathrm{B}$がある．いずれの容器にも水がいっぱいに満たされているとする．これらの容器をそれぞれゆっくりと傾けて水を出すとき，つぎの各問に答えよ．ただし，$a\text{，}b>0$とする．

(1)　容器$\mathrm{A}$を角度$\theta$ラジアン$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$だけ傾けたときの水面の面積$S_{\mathrm{A}}(\theta )$を求めよ．

(2)　容器$\mathrm{A}$を傾け始めてから傾きが$\theta$ラジアンになるまでに流れ出る水量$W_{\mathrm{A}}(\theta )$を求めよ．

(3)　容器$\mathrm{B}$を傾け始めてから傾きが$\phi$ラジアンになるまでに流れ出る水量を$W_{\mathrm{B}}(\phi )$とする．このとき，比

$r={\displaystyle \frac{W_{\mathrm{B}}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}{W_{\mathrm{A}}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}}$

を求めよ．

(4)　$W_{\mathrm{B}}(\phi )=r{W}_{\mathrm{A}}(\theta )$となるとき，$\tan \theta$を$\phi$の関数として求めよ．

【４】　円周上に$n$個の異なる点$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$をとり，これら$n$個の点を要素とする集合を$U$とする（ただし，$n\geqq 4$）．$U$内のすべての異なる$2$点間に線分を引くものとする．各線分を各々独立に，赤，青，黄のいずれかに等確率で着色する．つぎの(1)〜(6)の各問に答えよ．

(1)　上記の線分の数を求めよ．

(2)　すべての線分が同一色で着色されている確率を求めよ．

　いま事象${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4$を

${\mathrm{A}}_1:\{a_1,a_2,a_3\}$内の任意の$2$点を結ぶ線分のすべてが，同一色で着色されている

${\mathrm{A}}_2:\{a_2,a_3,a_4\}$内の任意の$2$点を結ぶ線分のすべてが，同一色で着色されている

${\mathrm{A}}_2:\{a_3,a_4,a_1\}$内の任意の$2$点を結ぶ線分のすべてが，同一色で着色されている

${\mathrm{A}}_4:\{a_4,a_1,a_2\}$内の任意の$2$点を結ぶ線分のすべてが，同一色で着色されている

とする．

　また事象$\mathrm{B}$を

$\mathrm{B}:\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$内のどの$3$個の点を選んでも，それらを結んでいる線分の色は$2$色以上である

とする．

(3)　事象${\mathrm{A}}_1$の起こる確率$P({\mathrm{A}}_1)$を求めよ．

(4)　${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2$の余事象$\overline{{\mathrm{A}}_1}\text{，}\overline{{\mathrm{A}}_2}$について，確率$P(\overline{{\mathrm{A}}_1}\cap \overline{{\mathrm{A}}_2})$を求めよ．

(5)　事象${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4\text{，}$および記号$\stackrel{‾}{}\text{，}\cup \text{，}\cap$を使って，事象$\mathrm{B}$を表現せよ．

(6)　「和事象の確率は，常に個々の事象の確率の和以下である」ことを用いて，$P(\mathrm{B})\geqq {\displaystyle \frac{5}{9}}$であることを示せ．