2003　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上で点$(0,1)$を中心とした半径$1$の円を$C$とする．直線$y=2$上に点$\mathrm{A}$をとる．線分$\mathrm{OA}$が円$C$と原点以外で交わる点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}$を通る$y$軸に平行な直線と点$\mathrm{B}$を通る$x$軸に平行な直線の交点を$\mathrm{P}$とする．

　線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分の間の角を$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とする．

(1)　線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{A}$が点$(0,2)$から点$(2,2)$まで動くとき，線分$\mathrm{OP}$が通過する領域の面積を求めよ．

【２】　平面上で点$\mathrm{O}$を中心とした半径$1$の円周上に相異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとる．点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は$1$直線上にないものとする．

　$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を$\alpha$とおく．$0<t<1$に対して，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

となるようにとり，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAD}$の面積を$t$と$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が直交するような$t$の値がただ一つ存在するための必要十分条件を$\alpha$を用いて表せ．

【３】　曲線$C_1:y=\sqrt{x}$上に点$\mathrm{P}$をとり，原点$\mathrm{O}$を中心とした半径$\mathrm{OP}$の円を$C_2$とする．点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1\text{，}{C}_2$の接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とする．曲線$C_1\text{，}{C}_2$と$x$軸の正の部分で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，直線$l_1\text{，}x=a$と$x$軸で囲まれた三角形の面積を$T(a)$とする．

(1)　$C_1$と$x$軸の正の部分および直線$x=a$で囲まれた図形の面積を$S_1(a)$とし，$C_1$と$x$軸の正の部分および直線$l_2$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を求めよ．

(2)　$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{T(a)}}$を求めよ．

【４】　$xy$平面において$y$軸上を正の方向へネズミが一定の速さ$k$で走っている．時刻$t=0$においてネズミが原点を通過した瞬間から，点$(1,0)$にいた猫が一定の速さでネズミを追いかけた．猫は常にネズミに向かって走った．猫の通った跡はある関数$f(x)$のグラフとなり，$f(x)$は次の等式を満たしている．

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$

(1)　$f\left(x\right)$を求めよ．

(2)　時刻$t$における猫の位置の$x$座標を$a$とする．時刻$t$におけるネズミの位置の$y$座標を$a$を用いて表せ．

(3)　$a\text{，}t$と$k$の間に成り立つ関係式を求め，${\displaystyle \frac{da}{dt}}$を$a$と$k$を用いて表せ．

(4)　猫の速度ベクトル$\overrightarrow{v}$を$a$と$k$を用いて表し，猫の速さを求めよ．