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2003-10541-0201
2003 京都大学 後期
文系
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 三角形 ABC と点 P に対して,次の 2 つの条件は同値であることを証明せよ.
(ⅰ) 点 P は三角形 ABC の内部(周は除く)にある
(ⅱ) 正の数 a ,b ,c があって, a⁢PA →+b ⁢PB→ +c⁢ PC→= 0→ が成り立つ
2003-10541-0202
【2】 実数 x に対して 3 つの数, 2⁢x ,5-x ,2 のうちの最小の数を f⁡ (x) とおく.さらに g⁡ (x)=x ⁢f⁡( x) とおく.このとき, y=g⁡ (x) のグラフと x 軸とで囲まれる部分の面積を求めよ.
2003-10541-0203
【3】 原点 O を中心とする半径 1 の円 C 上に 2 点 P ,Q をとる. ∠POQ が直角であるように点 P が第 1 象限を,点 Q が第 2 象限を動くとき,点 P における C の接線,点 Q における C の接線,および x 軸が囲む三角形を考える.この三角形の面積が最小になるのはどのような場合か.またその最小値を求めよ.
2003-10541-0204
【4】 辺の長さが AB= 3, AC=4 ,BC=5 ,AD =6 ,BD=7 ,CD =8 である四面体 ABCD の体積を求めよ.
2003-10541-0205
【5】(1) n を 2 以上の自然数とする.複素数 z が z≠ 1, zn =1 をみたすとき,
1+2⁢ z+3⁢ z2+ ⋯+n⁢ zn-1
は次の(ア)から(キ)のどれと等しくなるか.根拠を示して 1 つ選べ.
(2) 次の等式が成り立つことを示せ.
2⁢sin⁡ 40°+3 ⁢sin⁡80 °+⋯+ 9⁢sin⁡ 320°=- 9 2⁢tan⁡ 20°
2003-10541-0206
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理系
【1】 正三角形 ABC の辺 AB 上に点 P1 , P2 が,辺 BC 上に点 Q 1, Q2 が,辺 CA 上に点 R 1, R2 があり,どの点も頂点には一致していないとする.このとき三角形 P 1Q1 R1 の重心と三角形 P 2Q2 R2 の重心が一致すれば, P1 P2= Q1 Q2= R1 R2 が成り立つことを示せ.
2003-10541-0207
配点35点
【2】 一辺の長さが 1 の正三角形 ABC の辺 AC 上に点 D をとり,線分 BD に沿ってこの三角形を折り曲げ, 4 点 A ,B , C, D を頂点とする四面体を作り,その体積を最大にすることを考える.体積が最大になるときの D の位置と,そのときの四面体の体積を求めよ.
2003-10541-0208
【3】 a ,b を実数とする. 3 次方程式 x3 +a⁢ x2+ b⁢x+ 1=0 は 3 つの複素数からなる解 α 1, α2 , α3 をもち,相異なる i , j に対し | αi -αj |= 3 をみたしている.このような a ,b の組をすべて求めよ.
2003-10541-0209
【4】 {an } を正の数からなる数列とし, p を正の実数とする.このとき
an+ 1> 1 2⁢ an -p
をみたす番号 n が存在することを証明せよ.
2003-10541-0210
【5】 極限 lim n→∞ ⁡ ∑k =12 ⁢n ⁡(- 1)k ⁢( k 2⁢n ) 100 を求めよ.
2003-10541-0211
【6】 7 つの文字を並べた列 a1 a2 ⋯ a7 で,次の 3 つの条件をみたすものの総数を求めよ.
(ⅰ) a1 ,a2 , ⋯, a7 は A ,B ,C ,D ,E ,F のいずれかである
(ⅱ) i=1 ,2 ,⋯ ,6 に対し, ai と a i+1 は相異なる
(ⅲ) i=1 ,2 ,⋯ ,6 に対し, ai と a i+1 は右図において線分で結ばれている