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2003 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 三角形 ABC と点 P に対して,次の 2 つの条件は同値であることを証明せよ.

(ⅰ) 点 P は三角形 ABC の内部(周は除く)にある

(ⅱ) 正の数 a b c があって, aPA +b PB +c PC= 0 が成り立つ

2003 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】 実数 x に対して 3 つの数, 2x 5-x 2 のうちの最小の数を f (x) とおく.さらに g (x)=x f( x) とおく.このとき, y=g (x) のグラフと x 軸とで囲まれる部分の面積を求めよ.

2003 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】 原点 O を中心とする半径 1 の円 C 上に 2 P Q をとる. POQ が直角であるように点 P が第 1 象限を,点 Q が第 2 象限を動くとき,点 P における C の接線,点 Q における C の接線,および x 軸が囲む三角形を考える.この三角形の面積が最小になるのはどのような場合か.またその最小値を求めよ.

2003 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【4】 辺の長さが AB= 3 AC=4 BC=5 AD =6 BD=7 CD =8 である四面体 ABCD の体積を求めよ.

2003 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【5】(1)  n 2 以上の自然数とする.複素数 z z 1 zn =1 をみたすとき,

1+2 z+3 z2+ +n zn-1

は次の(ア)から(キ)のどれと等しくなるか.根拠を示して 1 つ選べ.

(ア)  0 (イ)  n(z +1) (ウ)  n(z -1) (エ)  n z-1
(オ)  n (z- 1)2 (カ)  - 2n (z- 1)2 (キ)  1-z- n 

(2) 次の等式が成り立つことを示せ.

2sin 40°+3 sin80 °++ 9sin 320°=- 9 2tan 20°

2003 京都大学 後期

理系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 正三角形 ABC の辺 AB 上に点 P1 P2 が,辺 BC 上に点 Q 1 Q2 が,辺 CA 上に点 R 1 R2 があり,どの点も頂点には一致していないとする.このとき三角形 P 1Q1 R1 の重心と三角形 P 2Q2 R2 の重心が一致すれば, P1 P2= Q1 Q2= R1 R2 が成り立つことを示せ.

2003 京都大学 後期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【2】 一辺の長さが 1 の正三角形 ABC の辺 AC 上に点 D をとり,線分 BD に沿ってこの三角形を折り曲げ, 4 A B C D を頂点とする四面体を作り,その体積を最大にすることを考える.体積が最大になるときの D の位置と,そのときの四面体の体積を求めよ.

2003 京都大学 後期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【3】  a b を実数とする. 3 次方程式 x3 +a x2+ bx+ 1=0 3 つの複素数からなる解 α 1 α2 α3 をもち,相異なる i j に対し | αi -αj |= 3 をみたしている.このような a b の組をすべて求めよ.

2003 京都大学 後期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【4】  {an } を正の数からなる数列とし, p を正の実数とする.このとき

an+ 1> 1 2 an -p

をみたす番号 n が存在することを証明せよ.

2003 京都大学 後期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【5】 極限 lim n k =12 n (- 1)k ( k 2n ) 100 を求めよ.

2003 京都大学 後期

理系

配点30点

易□ 並□ 難□

2003年京都大後期理系【6】の図

【6】  7 つの文字を並べた列 a1 a2 a7 で,次の 3 つの条件をみたすものの総数を求めよ.

(ⅰ)  a1 a2 a7 A B C D E F のいずれかである

(ⅱ)  i=1 2 6 に対し, ai a i+1 は相異なる

(ⅲ)  i=1 2 6 に対し, ai a i+1 は右図において線分で結ばれている


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