2003　大阪大学　前期MathJax

【１】　平面ベクトル$\overrightarrow{p}=(p_1,p_2)\text{，}\overrightarrow{q}=(q_1,q_2)$に対して$\{\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\}=p_1{q}_2-p_2{q}_1$と定める．

(1)　平面ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$に対して$\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\}=l\text{，}\{\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\}=m\text{，}\{\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}\}=n$とするとき

$l\overrightarrow{c}+m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$

が成り立つことを示せ．

(2)　(1)で$l\text{，}m\text{，}n$がすべて正であるとする．このとき任意の平面ベクトル$\overrightarrow{d}$は$0$以上の実数$r\text{，}s\text{，}t$を用いて

$\overrightarrow{d}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$

と表すことができることを示せ．

【２】　自然数$m$に対して，$m$の相異なる素因数をすべてかけあわせたものを$f(m)$で表すことにする．たとえば$f(72)=6$である．ただし$f(1)=1$とする．

(1)　$m\text{，}n$を自然数，$d$を$m\text{，}n$の最大公約数とするとき

$f(d)f(mn)=f(m)f(n)$

となることを示せ．

(2)　$2$つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のそれぞれに$1$番から$10$番までの番号札が$1$枚ずつ$10$枚入っている．箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から$1$枚ずつ札を取り出す．箱$\mathrm{A}$から取り出した札の番号を$m\text{，}$箱$\mathrm{B}$から取り出した札の番号を$n$とするとき

$f(mn)=f(m)f(n)$

となる確率$p_1$と

$2f(mn)=f(m)f(n)$

となる確率$p_2$を求めよ．

【３】　放物線$C:y=-x^2+2x+1$と$x$軸の共有点を$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(b,0)$とし，$C$と直線$y=mx$の共有点を$\mathrm{P}(\alpha ,m\alpha )\text{，}\mathrm{Q}(\beta ,m\beta )\text{，}$原点を$\mathrm{O}$とする．ただし$a<b\text{，}m\ne 0\text{，}\alpha <\beta$とする．線分$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OA}$と$C$で囲まれた図形の面積と線分$\mathrm{OQ}\text{，}\mathrm{OB}$と$C$で囲まれた図形の面積が等しいとき$m$の値を求めよ．

【１】　$a$を正の実数，$w=a(\cos 5°+i\sin 5°)$とする．ただし$i$は虚数単位である．また，複素数の列$\{z_n\}$を$z_1=w\text{，}{z}_{n+1}=z_n{w}^{2n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で定める．

(1)　$z_n$が実数になるための必要十分条件は$n$が$6$の倍数であることを示せ．

(2)　複素数平面で原点を$\mathrm{O}$とし$z_n$を表す点を${\mathrm{P}}_n$とする．$1\leqq n\leqq 17$であるような$n$について，$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$が直角二等辺三角形となるような$n$と$a$を求めよ．

【２】(1)　$0<t<1$のとき，不等式

${\displaystyle \frac{\log t}{2}}<-{\displaystyle \frac{1-t}{1+t}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$k$を正の定数とする．$a>0$とし，曲線$C:y=e^{kx}$上の$2$点$\mathrm{P}(a,e^{ka})\text{，}\mathrm{Q}(-a,e^{-ka})$を考える．このとき$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線の交点の$x$座標は常に正であることを示せ．

【３】(1)　$f(x)$を$x$の整式とし，$\{a_k\}$は$a_k<a_{k+1}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$および$\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_k=\infty$をみたす数列とする．このとき

$f(a_k)=0\text{，}k=1\text{，}2\text{，}\cdots$

ならば$f(x)$は整式として$0$であることを示せ．

(2)　$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_3(x)$を$x$の整式とし

$F(x)=f_1(x)+f_2(x)\sin x+f_3(x)\sin 2x$

はすべての実数$x$に対して$0$であるとする．このとき$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_3(x)$はいずれも整式として$0$であることを示せ．

【４】　数列$\{a_k\}$が$a_k<a_{k+1}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$および

$a_{kl}=a_k+a_l\text{，}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}l=1\text{，}2\text{，}\cdots$

をみたすとする．

(1)　$k\text{，}l$を$2$以上の自然数とする．自然数$n$が与えられたとき

$l^{m-1}\leqq k^n<l^m$

をみたす自然数$m$が存在することを示せ．

(2)　$k\text{，}l$を$2$以上の自然数とするとき

$-{\displaystyle \frac{1}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{a_k}{a_l}}-{\displaystyle \frac{\log k}{\log l}}<{\displaystyle \frac{1}{n}}\text{，}n=1\text{，}2\text{，}\cdots$

が成り立つことを示せ．

(3)　$a_2=a$とするとき，数列$\left\{a_n\right\}$の一般項を求めよ．

【５】(1)　平面上において座標軸に平行な主軸（長軸，短軸）をもち，$x$軸，$y$軸の両方に接する楕円を考える．その中心の$x$座標を$a$とする．このような楕円のうち点$\mathrm{A}(1,2)$を通るものが存在するための$a$の範囲を求めよ．ただし円は楕円の特別な場合とみなすものとする．

(2)　(1)の楕円がちょうど$2$つ存在するような$a$に対して，その$2$つの楕円の中心を$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S(a)$で表すときこの関数のグラフをかけ．