2003　神戸大学　前期MathJax

【１】　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(z_1)\text{，}\mathrm{B}(z_2)\text{，}\mathrm{C}(z_3)$は正三角形の頂点であり，左まわり（反時計まわり）に並んでいるとする．次の問に答えよ．

(1)　$2$つの複素数${\displaystyle \frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}}\text{，}{\displaystyle \frac{z_2-z_3}{z_1-z_3}}$の値を求めよ．

(2)　$z_1=2i\text{，}{z}_2=-2-2\sqrt{2}i$のとき，$z_3$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【２】　座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,2)$をとる．自然数$k$に対し点${\mathrm{P}}_k$の座標を$(k,0)$とする．自然数$n$に対し，$2n$本の線分$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1\text{，}\mathrm{A}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}\mathrm{A}{\mathrm{P}}_n\text{，}\mathrm{B}{\mathrm{P}}_1\text{，}\mathrm{B}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}\mathrm{B}{\mathrm{P}}_n$により分けられる第$1$象限の部分の個数を$a_n$とする．たとえば$n=1$のとき，図のように第$1$象限が$3$つの部分に分けられるので$a_1=3$である．次の問に答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3$の値を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表し，その理由を述べよ．

(3)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

【３】　$a$は$1$より大きい定数とする．関数$f(x+a)(x+1)(x-a)$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$は$x=\alpha$と$x=\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$で極値をとるとする．$2$点$(\alpha ,f(\alpha ))$と$(\beta ,f(\beta ))$を結ぶ直線の傾きが，点$(-1,0)$における曲線$y=f(x)$の接線の傾きと等しいとき，$a$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．$a$が(1)で求めた値をとるとき，曲線$y=f^{\prime }(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　複素数$z$に対し，$w={\displaystyle \frac{z-i}{z+i}}$とする．$z$が実軸上を動くとき，複素数平面上で$w$を表す点が描く図形を求めよ．

(2)　複素数$z$とその共役複素数$\bar{z}$に対し，$w_1={\displaystyle \frac{z-i}{z+i}}\text{，}{w}_2={\displaystyle \frac{\bar{z}-i}{\bar{z}+i}}$とする．$z\ne \pm i$のとき，複素数平面上で$w_1$を表す点を$\mathrm{P}\text{，}{w}_2$を表す点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$と原点$\mathrm{O}$が同一直線上にあることを示せ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{AB}=2\text{，}\angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}\angle \mathrm{CAB}>{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とし，$\angle \mathrm{CAH}=\alpha$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．線分$\mathrm{AM}$上に$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{X}$をとる．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{X}\text{，}\mathrm{H}$を通る円の中心を$\mathrm{P}\text{，}$半径を$r\text{，}\angle \mathrm{PAH}=\theta$とする．この円と直線$\mathrm{AC}$との交点で，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Y}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\cos \theta$を$r$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{AX}+\mathrm{AY}$を$r$と$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{X}$のとり方によらず，$\mathrm{AX}+\mathrm{AY}$が常に一定の値になるときの$\alpha$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^{\frac{1}{4}|x|}}{x^2-3x+18}}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の極小値をすべて求めよ．

(2)　$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，必要ならば$e>2.7$を用いてよい．

【４】　$f(x)$は実数全体で定義された何回でも微分可能な関数で，$f(0)=0\text{，}f(\pi )=0$をみたすとする．次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)\sin xdx=-{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{f}^{″}(x)\sin xdx$を示せ．

(2)　$f(x)=x(x-\pi )$のとき，実数$a$に対し

$F(a)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\{af(x)-\sin x\}}^{2}dx$

とする．$a$を変化させたとき，$F(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

【５】　座標平面上の点$(p,q)$で，$p$と$q$がともに整数であるものを格子点という．次の問に答えよ．

(1)　自然数$n$に対し，$p+2q=n\text{，}p>0\text{，}q>0$をみたす格子点$(p,q)$の個数を$a_n$とする．$a_n$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対し，$p+2q<n\text{，}p>0\text{，}q>0$をみたす格子点$(p,q)$の個数を$b_n$とする．$b_n$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{n^2}}$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{n^2}}$を求めよ．