2003　神戸大学　後期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は，条件

$a_1=7\text{，}{a}_{n+1}={(a_n)}^3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められるとする．$n$を自然数とするとき，$a_n$を$3^n$で割ったときの余りが$1$になることを数学的帰納法によって証明せよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を${\mathrm{P}}_0\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:4$の比に内分する点を${\mathrm{Q}}_0\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$1:3$の比に内分する点を${\mathrm{R}}_0$とする．次の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{C}{\mathrm{P}}_0$を$s:(1-s)$の比に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_0$を$t:(1-t)$の比に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{B}{\mathrm{R}}_0$を$u:(1-u)$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{M}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}s\text{，}t\text{，}u$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{M}$が線分$\mathrm{ON}$の中点であるとき，$s\text{，}t\text{，}u$の値を求めよ．

【３】　$a$と$b$は$2$より大きい定数とする．$2$つの放物線

$C_1:y=a{x}^2$

$C_2:y=-b{(x-1)}^2+2$

がただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$をもつとする．$\mathrm{A}$における曲線$C_1$と$C_2$の共通の接線を$l$とする．次の問に答えよ．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{A}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　$C_1$と$l$と$y$軸に囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_2$と$l$と$y$軸に囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=2:3$であるとき，$a$の値を求めよ．

【１】　複素数$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$に対し，次の式の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　$\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3+{\alpha }^4+{\alpha }^5+{\alpha }^6$

(2)　${\displaystyle \frac{1}{1-\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{1-{\alpha }^6}}$

(3)　${\displaystyle \frac{1}{1-\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{1-{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{1}{1-{\alpha }^3}}+{\displaystyle \frac{1}{1-{\alpha }^4}}+{\displaystyle \frac{1}{1-{\alpha }^5}}+{\displaystyle \frac{1}{1-{\alpha }^6}}$

(4)　${\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{1-\alpha }}+{\displaystyle \frac{{\alpha }^4}{1-{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{{\alpha }^6}{1-{\alpha }^3}}+{\displaystyle \frac{{\alpha }^8}{1-{\alpha }^4}}+{\displaystyle \frac{{\alpha }^{10}}{1-{\alpha }^5}}+{\displaystyle \frac{{\alpha }^{12}}{1-{\alpha }^6}}$

【２】　数列$\{a_n\}$は，条件

$a_1=7\text{，}{a}_{n+1}={(a_n)}^6\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められるとする．$n$を自然数とするとき，$a_n$を$6^n$で割ったときの余りが$1$になることを数学的帰納法によって証明せよ．

【３】　すべての自然数$n$について，$x_n$と$y_n$は$x_n+\sqrt{5}{y}_n={(1+\sqrt{5})}^n$をみたす整数とする．次の問に答えよ．

(1)　次の条件をみたす実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　(1)で求めた$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を$A$とする．$P=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{5}& -\sqrt{5}\\ 1& 1\end{array}\right)$とするとき，$P^{-1}{A}^{n}P$を求めよ．ただし，$P^{-1}$は$P$の逆行列である．

(3)　$x_n$と$y_n$を$n$を用いて表し，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}$を求めよ．

【４】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標を$(x,y)$とし，原点を中心として$\mathrm{P}$を$90°$だけ回転させた点を$\mathrm{Q}$とする．時刻$t$における$\mathrm{P}$の原点からの距離が${\displaystyle \frac{1}{e^t+1}}$に等しく，時刻$t$における$\mathrm{P}$の速さが$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$の大きさに等しくなるように$\mathrm{P}$は運動するとする．次の問に答えよ．

(1)　$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}$を求めよ．

(2)　時刻$0$から時刻${\log }_{e}2$までの間に$\mathrm{P}$が動いた道のり$s$を求めよ．

【５】　$1$つのサイコロを投げて，出た目の数を$1$枚のカードに記入する試行を考える．この試行を$4$回くり返し，できた$4$枚のカードを記入された数の大きい方から小さい方に順に左から右に並べる．ただし，同じ数が記入されたカードは，どのカードから並べてもよいとする．次の問に答えよ．

(1)　左端のカードに記入された数が$4$である確率$p_1$を求めよ．

(2)　左端のカードに記入された数が$4\text{，}$左から$2$番目のカードに記入された数が$4$である確率$p_2$を求めよ．

(3)　左から$2$番目のカードに記入された数が$4$である確率$p_3$を求めよ．