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2003-10701-0101
2003 岡山大学 前期
数学I・数学II・数学A・数学B
易□ 並□ 難□
【1】 r ,s ,t は 0 でない定数とする.数列 {an } は条件
r⁢a n+1 +s⁢ an+ t=0 (n =1 ,2 ,3 ,⋯ )
を満たしているとし, bn= an+ 1- an (n =1 ,2 ,3 ,⋯ ) とおく.
(1) 数列 {bn } は等比数列であることを示せ.
(2) a1= 1, a2= 4, a2< a3 ,a4 =13+3 ⁢3 であるとき,一般項 an を求めよ.
(3) (2)の条件の下で
Sn= ∑k =1n ⁡ 1( log3⁡ bk+ 1) ⁢( log3⁡ bk )
を求めよ.
2003-10701-0102
数学I・数学II・数学A・数学B,
数学I・数学II・数学III・
数学A・数学B・数学C共通
【2】 xy 平面の原点を中心とする単位円周 C 上を, A は点 (1, 0) を出発して反時計回りに一定の早さで一周する. B は点 (-1 ,0) を A と同時に出発し,時計回りに A の n 倍の速さで C 上を回る.ただし n は 2 以上の整数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) A が C を一周する間に A と B は何回出会うか.
(2) A と B が点 (0, 1) で出会うのは n がどのような条件をみたすときか.
(3) n=7 とする. A が, B を通り y 軸に平行な直線の左側(点 (-2 ,0) を含む側)にある範囲を求めて, C 上に図示せよ.
《編注》「早さ」「速さ」は資料どおり
2003-10701-0103
【3】 複素数平面上の点 zn ( n= 1, 2, 3, ⋯) を以下のように定める. z1= 1 とする.次にさいころを振り,出た目が
(a) 1 または 2 のとき, zn+ 1= zn+( 1+i)
(b) 3 以上のとき, zn+ 1= zn⁢ (1+i )
とし,この操作を n= 1, 2, 3, ⋯ の順に繰り返す.初めて | zn| ≧3 となるような番号 n を N とする.ただし, i は虚数単位とする.
(1) N のとりうる値を求めよ.
(2) N の期待値を求めよ.
2003-10701-0104
【4】 曲線 y= x2 を C とし, C 上の異なる 2 点を A( a,a2 ), B(b ,b2 ) とする. A を通り, A における C の接線と直交する直線を l とする. B を通り, B における C の接線と直交する直線を m とする.
(1) l と m の交点 P の座標を a と b の式で表せ.
(2) l と m が直交するように点 A ,B が動くとき,交点 P がえがく曲線の方程式を求めよ.
(3) (2)で求めた曲線の接線と C で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ.
2003-10701-0105
数学A・数学B・数学C
【1】 f⁡(x )=a⁢ x3+ b⁢x 2+c⁢ x は, x=1 ,-1 ,-2 で整数値 f⁡ (1)= r, f⁡(- 1)=s , f⁡(- 2)=t をとるとする.
(1) a ,b ,c を r ,s ,t の式で表せ.
(2) すべての整数 n について, f⁡(n ) は整数になることを示せ.
2003-10701-0106
【3】 複素数平面上において,右の図のように三角形 ABC の各辺の外側に正方形 ABEF , BCGH ,CAIJ を作る.
(1) 点 A ,B ,C がそれぞれ複素数 α ,β ,γ で表されているとき,点 F ,H ,J を α , β ,γ の式で表せ.
(2) 三つの正方形 ABEF ,BCGH ,CAIJ の中心をそれぞれ P ,Q ,R とする.このとき線分 AQ と線分 PR は長さが等しく, AQ⊥PR であることを証明せよ.
2003-10701-0107
【4】 1<a< b とする.原点 O と点 A (a , 1a ) を通る直線,原点 O と点 B ( b, 1b ) を通る直線,および曲線 y= 1 x ( x>0 ) で囲まれた部分を R とする. R の面積を E ,R を直線 y= -x のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を V とする.
(1) E を a と b の式で表せ.
(2) c>1 とし,曲線 y= 1 x 上の点 P (c ,1 c ) から直線 y= -x に下ろした垂線を PQ とする.線分 OQ の長さを s , 線分 PQ の長さを t とすると, t2= s2+ 2 となることを示せ.
(3) V を a と b の式で表せ.
(4) b=a+ 1 のとき, lima→ ∞⁡ E, lima→ ∞⁡ V を求めよ.