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2003 岡山大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【1】  r s t 0 でない定数とする.数列 {an } は条件

ra n+1 +s an+ t=0 n =1 2 3

を満たしているとし, bn= an+ 1- an n =1 2 3 とおく.

(1) 数列 {bn } は等比数列であることを示せ.

(2)  a1= 1 a2= 4 a2< a3 a4 =13+3 3 であるとき,一般項 an を求めよ.

(3) (2)の条件の下で

Sn= k =1n 1( log3 bk+ 1) ( log3 bk )

を求めよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B,

数学I・数学II・数学III・

数学A・数学B・数学C共通

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【2】  xy 平面の原点を中心とする単位円周 C 上を, A は点 (1, 0) を出発して反時計回りに一定の早さで一周する. B は点 (-1 ,0) A と同時に出発し,時計回りに A n 倍の速さで C 上を回る.ただし n 2 以上の整数とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  A C を一周する間に A B は何回出会うか.

(2)  A B が点 (0, 1) で出会うのは n がどのような条件をみたすときか.

(3)  n=7 とする. A が, B を通り y 軸に平行な直線の左側(点 (-2 ,0) を含む側)にある範囲を求めて, C 上に図示せよ.

《編注》「早さ」「速さ」は資料どおり

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数学I・数学II・数学A・数学B

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【3】 複素数平面上の点 zn n= 1 2 3 を以下のように定める. z1= 1 とする.次にさいころを振り,出た目が

(a)  1 または 2 のとき, zn+ 1= zn+( 1+i)

(b)  3 以上のとき, zn+ 1= zn (1+i )

とし,この操作を n= 1 2 3 の順に繰り返す.初めて | zn| 3 となるような番号 n N とする.ただし, i は虚数単位とする.

(1)  N のとりうる値を求めよ.

(2)  N の期待値を求めよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

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【4】 曲線 y= x2 C とし, C 上の異なる 2 点を A( a,a2 ) B(b ,b2 ) とする. A を通り, A における C の接線と直交する直線を l とする. B を通り, B における C の接線と直交する直線を m とする.

(1)  l m の交点 P の座標を a b の式で表せ.

(2)  l m が直交するように点 A B が動くとき,交点 P がえがく曲線の方程式を求めよ.

(3) (2)で求めた曲線の接線と C で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ.

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【1】  f(x )=a x3+ bx 2+c x は, x=1 -1 -2 で整数値 f (1)= r f(- 1)=s f(- 2)=t をとるとする.

(1)  a b c r s t の式で表せ.

(2) すべての整数 n について, f(n ) は整数になることを示せ.

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2003年岡山大前期理系【3】の図

【3】 複素数平面上において,右の図のように三角形 ABC の各辺の外側に正方形 ABEF BCGH CAIJ を作る.

(1) 点 A B C がそれぞれ複素数 α β γ で表されているとき,点 F H J α β γ の式で表せ.

(2) 三つの正方形 ABEF BCGH CAIJ の中心をそれぞれ P Q R とする.このとき線分 AQ と線分 PR は長さが等しく, AQPR であることを証明せよ.



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【4】  1<a< b とする.原点 O と点 A (a , 1a ) を通る直線,原点 O と点 B ( b, 1b ) を通る直線,および曲線 y= 1 x x>0 で囲まれた部分を R とする. R の面積を E R を直線 y= -x のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を V とする.

(1)  E a b の式で表せ.

(2)  c>1 とし,曲線 y= 1 x 上の点 P (c ,1 c ) から直線 y= -x に下ろした垂線を PQ とする.線分 OQ の長さを s 線分 PQ の長さを t とすると, t2= s2+ 2 となることを示せ.

(3)  V a b の式で表せ.

(4)  b=a+ 1 のとき, lima E lima V を求めよ.

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