2003　広島大学　前期MathJax

(1)　$a\text{，}b$をともに$1$から$6$までの整数とするとき，$F$と$x$軸との共有点の個数がただ$1$つであるような定数$a\text{，}b$の値の組をすべて求めよ．

(2)　さいころを続けて$2$回投げ，定数$a\text{，}b$の値を$1$回目に出た目の数を$a\text{，}2$回目に出た目の数を$b$と決める．このとき，$F$と$x$軸との共有点の個数の期待値$E$を求めよ．

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AP}}=p\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=q\overrightarrow{c}\text{，}$

とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$p\text{，}q$は正の実数とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{2}{q}}=3$が成り立つことを示せ．

(3)　$\mathrm{Q}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{QH}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}q$で表せ．

(4)　$\mathrm{M}$を通る直線$k$が半直線$l\text{，}m$と点$\mathrm{A}$以外でそれぞれ交わるように変わるとき，三角形$\mathrm{APQ}$の面積を最小にする$p\text{，}q$の値を求めよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を正の整数とする．${(a+b\sqrt{2})}^2={(c+d\sqrt{2})}^2$ならば，$a=c\text{，}b=d$であることを示せ．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることを用いてよい．

(2)　次の$2$つの数$r\text{，}s$はそれぞれ，$a\text{，}b$を正の整数として，${(a+b\sqrt{2})}^2$と表すことができるか．表すことができれば，$a\text{，}b$の値を求めよ．表すことができなければ，その理由を示せ．

$r=967+384\sqrt{2}\text{，}s=2107+1470\sqrt{2}$

(1)　$a$を$0$でない実数とするとき，$2$つの曲線$y=-x^2+2x$と$y=-a{x}^2+1$が$0\leqq x\leqq 2$の範囲で$2$つの交点をもつように$a$の範囲を定めよ．

(2)　$a_0$を(1)で求めた$a$の範囲の最大値とするとき，定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^2}|(-a_0{x}^2+1)-(-x^2+2x)|dx$

を求めよ．

${\log }_{a}b+{\log }_a(k-b)>2$

を満たす実数$a\text{，}b$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は$k>2$を満たす定数とする．

(1)　点$(a,b)$全体の集合を$ab$平面上に図示せよ．

(2)　$a+b$がとる値の範囲を求めよ．

(1)　複素数平面上に$D$を図示せよ．

(2)　$a$を$a>0$を満たす実数とする．このとき，$D$に属する点$z$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

$|z|\sin \theta \leqq |z+a|$

また，等号が成り立つときの$z$を$a\text{，}\theta$を用いて表せ．

(1)　すべての$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$について，${\displaystyle \frac{1}{\pi {(n+1)}^2}}\leqq S_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{\pi n^2}}$が成り立つことを示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^3}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{S^k}}$の値を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^x-1+{\displaystyle \frac{a-e^x}{a-2}}-|e^x-1-{\displaystyle \frac{a-e^x}{a-2}}\left|\right)$

とおく．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$y=f(x)$のグラフの$y\geqq 0$の部分と$x$軸とで囲まれる図形を直線$x=\log 2$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

(1)　箱${\mathrm{B}}_k$を用いた試行で$\mathrm{F}$君が$k$本ヒットを打つ確率を$q_k\text{，}$また箱${\mathrm{B}}_{k+1}$を用いた試行で$\mathrm{F}$君が$k$本ヒットを打つ確率を$r_k$とするとき，$(k+1)r_k-k{q}_k$を$p\text{，}k$を用いて表せ．

(2)　箱${\mathrm{B}}_k$を用いた試行で$\mathrm{F}$君が$j$本ヒットを打つ確率を$q_j\text{（}0\leqq j\leqq k\text{），}$箱${\mathrm{B}}_{k+1}$を用いた試行で$\mathrm{F}$君が$j$本ヒットを打つ確率を$r_j\text{（}0\leqq j\leqq k+1\text{）}$とするとき，$(k+1)r_j-k{q}_j\text{（}0\leqq j\leqq k\text{）}$を$p\text{，}k\text{，}j$を用いて表せ．

(3)　箱${\mathrm{B}}_n$を用いた試行で$\mathrm{F}$君が$j$本ヒットを打つ確率を$p_j\text{（}0\leqq j\leqq n\text{）}$とし，$\alpha =pt+1-p$とすると，変数$t$に関して次の等式が成り立つことを示せ．

$p_0+p_{1}t+p_2{t}^2+\cdots +p_n{t}^n={\displaystyle \frac{1}{n}}(\alpha +{\alpha }^2+\cdots +{\alpha }^n)$

(4)　箱${\mathrm{B}}_n$を用いた試行において，$\mathrm{F}$君が打つヒットの数の期待値$E$を$n\text{，}p$を用いて表せ．

(1)　実数を成分とする$2$次の正方行列$X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$が等式

(＊)　$X^2-aX+bE=O$

を満たすならば，

$x+w=a\text{，}xw-yz=b$

が成り立つことを示せ．ただし，$O$は$2$次の零行列であり，$E$は$2$次の単位行列である．

(2)　等式(＊)を満たす実数を成分とする$2$次の正方行列全体の集合を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{S}$に属する行列$X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．

(＊＊)　$x^2+y^2+z^2+w^2\geqq 2b$

また，等号が成り立つときの$X$を$a\text{，}c$を用いて表せ．ただし，$c=\sqrt{b-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}}$とする．

(3)　$A\text{，}B$を不等式(＊＊)において等号が成り立つ$\mathrm{S}$に属する$2$つの相異なる行列とする．このとき，

$(X-A)(X-B)=O$

を満たす$\mathrm{S}$に属する行列$X$は$A$または$B$であることを示せ．