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2003 九州大学 前期

文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 実数 a c を係数とする関数 f (x)= ax2 +c について,次の条件を考える.

(*)  0x 1 の範囲で f (x) (x+ 1)2 が成立する.

(1)  a2 のとき,条件(*)を満たす最小の c の値は aa-1 であることを示せ.

(2)  a2 のとき,条件(*)を満たす最小の c の値は 4- a であることを示せ.

(3) 関数 f (x) が条件(*)を満たしているとき,定積分 0 1 f(x )dx を最小にする a c と,そのときの定積分の値を求めよ.

2003 九州大学 前期

文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護)),

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)共通

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上で,不等式

2| x-4| +|y- 5| 3 2| |x| -4|+ || y|-5 |3

が表す領域を,それぞれ A B とする.

(1) 領域 A を図示せよ.

(2) 領域 B を図示せよ.

(3) 領域 B の点 (x, y) で, x が正の整数であり y が整数であって, logx |y | が有理数となる点を,理由を示してすべて求めよ.

2003 九州大学 前期

文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護))

【3】〜【5】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】  a b c を実数とし, a>0 とする. f(x )=a x2+ bx+ c とおく.実数 p に対し, x の関数 p x-f (x) の最大値を g (p) とおく.

(1)  2 つの関数 y= f(x ) y= g(x ) が一致するとき, f(x ) を求めよ.

(2) 実数 x に対し, p の関数 x p-g (p) の最大値を h (x) とおく. h(x ) を求めよ.

(3) 直線 y= px+ q が点 (t, f(t )) y= f(x ) のグラフに接するための必要十分条件は g (p)= pt- f(t ) かつ q= -g( p) であることを示せ.

2003 九州大学 前期

文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護))

【3】〜【5】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】  {mk } を公比 r の等比数列とする. 2 次関数 y= x2 のグラフを C とし, C 上に点 P1 をとる.各自然数 k に対し,点 Pk から点 P k+1 を順次つぎのように定める.点 Pk を通り傾き mk の直線を lk とし,この直線と C とのもう一つの交点を P k+1 とする.ただし, C lk が接する場合は P k+1 =Pk とする.点 Pk x 座標を ak とする.

(1)  ak+ 1 ak mk で表せ.

(2) 数列 {ak } の一般項を a1 m1 r k で表せ.

(3)  a1= m 11+ r とする.このとき,ある 2 次関数 y= bx2 があって,すべての自然数 k に対し直線 lk がその 2 次関数のグラフに接することを示し, b r で表せ.ただし, m1 0 r -1 0 とする.

2003 九州大学 前期

文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護))

【3】〜【5】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

2003年九州大前期文系【5】の図

【5】(1) 次の流れ図に対応するプログラムを実行する. C=105 を入力したとき, X Y および N の値を出力順にすべて示せ.

(2) 座標平面上で, x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ.自然数 A B R を入力したとき,第 1 象限( x 軸, y 軸は含まない)にあり,かつ中心が (A ,B) で半径が R の円の内部および周上にある格子点の個数と,それらの格子点のうちで原点からの距離が最大である格子点(複数個あるときは x 座標が最大のもの)の座標を出力するプログラムの流れ図を,方針を記述してから作成せよ.



2003 九州大学 前期

文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護)),

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)共通

文系は【6】〜【8】から1題選択

理系は【4】で,【4】〜【6】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【6】 空間内に四面体 OABC があり, AOB BOC COA はすべて 90 ° であるとする.辺 OA OB OC の長さを,それぞれ a b c とし,三角形 ABC の重心を G とする.

(1)  OGA OGB OGC がすべて 90 ° であるための条件を a b c の関係式で表せ.

(2) 線分 BC 1 :2 に内分する点を D とする.点 P は直線 AD 上の A 以外の点を動き,点 Q は三角形 APQ の重心が点 G になるように動く.このとき,線分 OQ の長さの最小値を求めよ.

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文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護))

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)共通

文系は【6】〜【8】から1題選択

理系は【5】で,【4】〜【6】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【7】  0<a< 1 である定数 a に対し,複素数平面上で z= t+a i t は実数全体を動く)が表す直線を l とする.ただし, i は虚数単位である.

(1) 複素数 z l 上を動くとき, z2 が表す点の軌跡を図示せよ.

(2) 直線 l を,原点を中心に角 θ だけ回転移動した直線を m とする. m と(1)で求めた軌跡との交点の個数を sin θ の値で場合分けして求めよ.

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文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護))

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)共通

文系は【6】〜【8】から1題選択

理系は【6】で,【4】〜【6】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【8】 座標平面上に (0, 0) (1,0 )( 1,1) (0, 1) を頂点とする正方形がある.ボールはこの正方形の中のすべての点に同様に確からしく落ちて, yx (a- x) の部分に落ちれば当たりとする.ただし, 0<a 2 とする.

(1) ボールを 1 回落とす.当たる確率を求めよ.

(2)  1 回目は a= 1 2 2 回目は a= 3 2 として,ボールを 2 回落とす. 1 回だけ当たる確率を求めよ.

(3)  a の値を変えずにボールを 3 回落とす.少なくとも 1 回は当たる確率が 1927 以上であり,当たりの数の期待値が 32 以下になるような a の値の範囲を求めよ.

2003 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面上で,

x=r (t) cost y=r (t) sint 0 tπ

で表される曲線を C とする.

(1)  r(t )=e -t のとき, x の最小値と y の最大値を求め, C の概形を図示せよ.

(2) 一般に,すべての実数 t で微分可能な関数 r (t) に対し,

0π {r (t)} 2r ( t)sin 2t cost dt= 0 π {r( t)}3 ( sin3 t- 23 sin t) dt

が成り立つことを示せ.ここで, r (t) r (t) の導関数である.

(3) (1)で求めた曲線 C x 軸とで囲まれる図形を, x 軸のまわりに一回転してできる立体の体積 V

V= 2π 3 0π e- 3t sint dt

と表せることを示せ.

2003 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上で, x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ.格子点を頂点とし,辺の長さが 1 である正方形(周は含まない)を単位正方形と呼ぶことにする. p n を自然数とし,領域

Dn= {(x, y)| 0x, xp yn}

を考え,その面積を Sn とする. Ln Mn を,それぞれ Dn に含まれる格子点の個数および単位正方形の個数とする.

(1) グラフ y= xp 0 x n1p と交わる単位正方形の個数は n であることを示せ.

(2) 不等式 Mn <Sn <Mn +n を示せ.また,面積 Sn を求めよ.

(3) 極限値 lim n n -p +1p L n を求めよ.

2003 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)

【7】〜【9】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【7】 座標平面上に点 P( a,b) があり, P |a | 12 |b| 1 2 の範囲を動く.また,点 Q (x, y) の座標は連立 1 次方程式 A X=B の解になっている.ただし,

A= 13 ( 2-1 -1 2) X= (x y ) B=( 1+a -1+b )

である.

(1) 点 P が原点 O にあるときの点 Q の位置を点 R とする. PO のとき, RQ OP の最大値を求め,その最大値を与える点 P の全体を図示せよ.

(2)  OQ の最小値と,その最小値を与える点 P の座標を求めよ.

2003 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)

【7】〜【9】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【8】  θ 0< θ< π2 である定数とする.座標平面上で, a2> 4b を満たす点 P (a, b) から放物線 y= 1 4 x2 に引いた二つの接線の接点を Q R とし,接線 PQ PR の傾きをそれぞれ m 1 m2 とおく.点 P QPR=θ を満たしている.点 P の全体が作る図形を G とする.

(1)  m1< 0<m 2 のとき, tanθ m1 m2 で表せ.

(2)  G を数式で表せ.

(3)  θ= π4 のとき G を図示せよ.

2003 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)

【7】〜【9】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【9】  n 2 以上の自然数とする.数列 {Sk } S k=1+ 1 2+ 13 + +1 k で与えられている.

(1) 不等式

log(n +1)< Sn< 1+log n

が成り立つことを示せ.

(2) 一般に数列 {ck } に対して, Δck =ck +1- ck k =1 2 とおく.数列 { ak } { bk } に対して,

k=1 n-1 a kΔ bk=a nb n-a1 b1 - k=1 n-1 bk +1 Δak

が成り立つことを示せ.また, k=1 n-1 k Sk= (Sn - 12 ) p( n) となる n の整式 p (n ) を求めよ.

(3) 不等式

| 2n( n-1) k=1 n-1 kS k-log n|< 12

が成り立つことを示せ.

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