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2003-10842-0201
2003 九州大学 後期理学部
数学科
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 双曲線 C: x2- y2= 1 を考える. C 上の点 P( x,y) で, A(-1 ,0) とは異なるものをとり,直線 AP と y 軸との交点の y 座標を t とする.
(1) x ,y を t の式で表せ.
(2) x ,y がともに有理数であるための必要十分条件は t が有理数となることである.このことを証明せよ.
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【2】 方程式 x3 -x-1 =0 は一つの実数解 α と,互いに共役な虚数解 β ,β‾ を持つ.複素数平面において α ,β , β‾ に対応する点をそれぞれ P ,Q , R とする.
(1) β+β ‾ ,β⁢ β‾ を α を用いて表せ.
(2) PQ2 ,QR2 を α を用いて表せ.
(3) 1 α3 =α 2-α を示せ.
(4) (PQ⋅ PR⋅QR) 2 を求めよ.
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【3】 関数 f⁡ (x) は x≧ 0 で定義されており, f⁡(0 )=0 かつ x> 0 で f′ ⁡(x )>0 をみたすとする.また f -1 ⁡(x ) を f⁡ (x) の逆関数とする.
(1) b=f⁡ (a) ,a>0 であるとき
∫ 0a⁡ f⁡(x )⁢dx + ∫0b ⁡f -1⁡ (x)⁢ dx=a⁢ b
を示せ.
(2) a>0 ,b>0 であるとき
∫ 0a⁡ f⁡(x )⁢dx +∫ 0b⁡ f-1 ⁡(x) ⁢dx≧ a⁢b
が成立することを示せ.また等号が成立するのは b= f⁡(a ) のときに限ることを示せ.
(3) s>0 ,t>0 ,n >0 とするとき
1 n+1 ⁢ (sn +1+ n⁢t n+1 )≧s⁢ tn
を示せ.また等号はいつ成立するか.
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【4】 以下において log は自然対数, e=2.71828 ⋯ は自然対数の底とする.
(1) 各自然数 n に対し n= x⁡log⁡ x となる x がただ一つ存在することを示せ.
(2) 各自然数 n に対し n= an⁢ log⁡a n で an を定める. ak< e2< ak+ 1 となる自然数 k を求めよ.
(3) 曲線 y= log⁡x⋅ log⁡(log ⁡x) の x= ean における接線と y 軸との交点の y 座標を bn とする.(2)で求めた k について b k>11 を示せ.