2003　九州大学　後期理学部MathJax

【１】　双曲線$C:x^2-y^2=1$を考える．$C$上の点$\mathrm{P}(x,y)$で，$\mathrm{A}(-1,0)$とは異なるものをとり，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸との交点の$y$座標を$t$とする．

(1)　$x\text{，}y$を$t$の式で表せ．

(2)　$x\text{，}y$がともに有理数であるための必要十分条件は$t$が有理数となることである．このことを証明せよ．

【２】　方程式$x^3-x-1=0$は一つの実数解$\alpha$と，互いに共役な虚数解$\beta \text{，}\bar{\beta }$を持つ．複素数平面において$\alpha \text{，}\beta \text{，}\bar{\beta }$に対応する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

(1)　$\beta +\bar{\beta }\text{，}\beta \bar{\beta }$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　${\mathrm{PQ}}^2\text{，}{\mathrm{QR}}^2$を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^3}}={\alpha }^2-\alpha$を示せ．

(4)　${(\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{PR}\cdot \mathrm{QR})}^2$を求めよ．

【３】　関数$f(x)$は$x\geqq 0$で定義されており，$f(0)=0$かつ$x>0$で$f^{\prime }(x)>0$をみたすとする．また$f^{-1}(x)$を$f(x)$の逆関数とする．

(1)　$b=f(a)\text{，}a>0$であるとき

${\displaystyle {\int }_0^a}f(x)dx+{\displaystyle {\int }_0^b}{f}^{-1}(x)dx=ab$

を示せ．

(2)　$a>0\text{，}b>0$であるとき

${\displaystyle {\int }_0^a}f(x)dx+{\displaystyle {\int }_0^b}{f}^{-1}(x)dx\geqq ab$

が成立することを示せ．また等号が成立するのは$b=f(a)$のときに限ることを示せ．

(3)　$s>0\text{，}t>0\text{，}n>0$とするとき

${\displaystyle \frac{1}{n+1}}(s^{n+1}+n{t}^{n+1})\geqq s{t}^n$

を示せ．また等号はいつ成立するか．

【４】　以下において$\log$は自然対数，$e=2.71828\cdots$は自然対数の底とする．

(1)　各自然数$n$に対し$n=x\log x$となる$x$がただ一つ存在することを示せ．

(2)　各自然数$n$に対し$n=a_n\log a_n$で$a_n$を定める．$a_k<e^2<a_{k+1}$となる自然数$k$を求めよ．

(3)　曲線$y=\log x\cdot \log (\log x)$の$x=e^{a_n}$における接線と$y$軸との交点の$y$座標を$b_n$とする．(2)で求めた$k$について$b_k>11$を示せ．