2003　九州大学　後期工学部MathJax

2003　九州大学　後期工学部

易□　並□　難□

【１】　関数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{2} - 4}$ について，次の問いに答えよ．

1.　不等式 $b f (a) < 0$ をみたす点 $(a, b)$ の集合を座標平面上に図示せよ．

2.　 $y = f (x)$ の極値を与える $x$ 座標を求めよ．

3.　 $y = f (x)$ の漸近線を求め，グラフの概形をかけ．

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【２】　次の問いに答えよ．

1.　次の性質をもつ $4$ 次関数 $f (x)$ を求めよ．

(1)　 $y = f (x)$ のグラフは直線 $x = 0$ に関して対称である．

(2)　方程式 $f (x) = 0$ は $- 1$ と $1$ の間に相異なる $4$ 個の解をもつ．

(3)　 $f (x)$ の極値はすべてその絶対値が $1$ に等しい．さらに $f (1) = 1$ をみたす．

2.　次の性質をもつ $3$ 次関数 $g (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ を $1$ つ求めよ．

(1)　 $y = g (x)$ のグラフは $x$ 軸と相異なる $3$ 個の共有点をもつ．

(2)　 $p_{0} = 0 ， p_{4} = 1$ とおく．共有点の $x$ 座標 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3}$ は $p_{0} < p_{1} < p_{2} < p_{3} < p_{4}$ をみたす．

(3)　面積 $S_{i} = \int_{p_{i - 1}}^{p_{i}} {(- 1)}^{i} g (x) d x （ i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）$ の比が $S_{1} : S_{2} : S_{3} : S_{4} = 1 : 2 : 2 : 1$ をみたす．

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【３】　座標平面上の原点にある点 $P$ を次のルールで移動させるゲームを考える．

(1)　赤，白，青，黄色の玉がそれぞれ $1$ 個ずつ入っている袋の中から玉を $1$ 個取り出して色を見た後で袋に戻す操作を繰り返す．

(2)　取り出した玉が赤色であれば点 $P$ を現在の座標から $x$ 軸の正の方向に $1$ だけ移動させる．玉が，白，青，黄色であれば，点 $P$ をそれぞれ $x$ 軸の負の方向， $y$ 軸の正の方向および $y$ 軸の負の方向に $1$ だけ移動させる．

(3)　点 $P$ を $1$ 回移動させるたびに点数 $1$ を得る．ただし，点 $P$ が点 $A (1, 1)$ に到達した場合は $2$ 点加算されて点数 $3$ を得る．

(4)　移動を $4$ 回繰り返すか，または点 $P$ が点 $A$ に到達したときに，ゲームは終了する．

このとき，次の問いに答えよ．

1.　点 $P$ が点 $A$ に到達する確率を求めよ．

2.　ゲーム終了時の合計点数の期待値を求めよ．

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【４】　関数 $f (x)$ は区間 $0 ≦ x ≦ 1$ において連続で $0 ≦ f (x) ≦ 1$ をみたす．このとき次の問いに答えよ．

1.　 $y = f (x)$ のグラフと直線 $y = x$ は共有点を持つことを証明せよ．

2.　 $f (x)$ が微分可能で $| f^{'} (x) | ≦ \frac{1}{2}$ をみたすならば，

$0 ≦ x_{1} ≦ 1$ とし， $x_{n + 1} = f (x_{n}) ， n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots$

によって定義される数列 ${x_{n}}$ は $n \to \infty$ のとき収束することを証明せよ．