2003　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　正の整数$a$を$9$で割ったときの余りを$r(a)\text{（}0\leqq r(a)<9\text{）}$と書くことにする．たとえば，$r(5)=5\text{，}r(5^2)=7$である．とくに$0<a<9$のとき，$r(a)=a$である．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を正の整数とする．$r(a)=r(b)$ならば$r(ac)=r(bc)$が成り立つことを示せ．

(2)　$b\text{，}c$を正の整数とする．$r(b)=1$ならば$r(bc)=r(c)$が成り立つことを示せ．

　さて，(1)を利用して$r(5^3)$を計算すると，次のようになる．$r(5^2)=7$より$r(5^2)=r(7)$であるが，(1)より$r(5^3)=r(35)$である．$r(35)=8$なので$r(5^3)=8$が得られる．

(3)　$r(5^4)\text{，}r(5^5)\text{，}r(5^6)$を求めよ．

(4)　すべての正の整数$n$に対して$r(5^{6n})=1$が成り立つことを示し，$r(5^{2003})$を求めよ．

【２】　$\alpha$を複素数とし，複素数$z_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を$z_1=i\text{，}{z}_{n+1}=\alpha z_n+1$によって定める．ただし，$i$は虚数単位である．次の問いに答えよ．(1)，(2)はどちらを先に解いてもよい．

(1)　すべての正の整数$n$に対して$z_n$は純虚数であるとする．このとき，$\alpha$および$z_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(2)　$z_{n+k}=z_n$がすべての正の整数$n$に対して成り立つような正の整数$k$が存在するための$\alpha$の必要十分条件を求めよ．

【３】　$\alpha$は$\cos \alpha =\tan \alpha \text{，}0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす実数とし，

• $f_1(x)=\cos x-2\tan x+\sin x$
• $f_2(x)=\tan x-2\cos x+\sin x$

とおく．

(1)　$f_1(x)=0$は$0<x<\alpha$においてただ一つの実数解をもつことを示せ．

(2)　$f_2(x)=0$は$\alpha <x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$においてただ一つの実数解をもつことを示せ．

(3)　次の性質を満たす実数$\theta$は，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$にちょうど二つ存在することを示せ．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$座標空間内に$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{2}{3}},0,0)$があり，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OA}$上の点とする．次の手順で正三角形$\mathrm{SQR}$を作る．

　$xy$平面上において，$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と放物線$x={\displaystyle \frac{2}{3}}-y^2$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{QR}$を一辺とする正三角形$\mathrm{SQR}$を$xy$平面に垂直な平面より$45°$だけ$x$軸の負の方向へ傾けて作る．ただし，$\mathrm{Q}$の$y$座標が$0$以下，$\mathrm{S}$の$z$座標が$0$以上となるように$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$は定める．

(1)　正三角形$\mathrm{SQR}$が$yz$平面と共有点をもつときの，$\mathrm{P}$の$x$座標の範囲を$0\leqq x\leqq a$とする．$a$を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から$\mathrm{O}$まで動くとき，正三角形$\mathrm{SQR}$が通過する$yz$平面上の部分の面積を求めよ．