2003　東京都立大　前期MathJax

【１】(1)　$x^3$を$x-1$で割ったときの余りを求めよ．

(2)　$x^{12}$を$x^4-1$で割ったときの余りを求めよ．

(3)　$x^{13}$を$x^4-1$で割ったときの余りを求めよ．

【２】　年利率$r$で毎年末に利息を元金に繰り入れる複利法の口座がある．その口座に，西暦$2000$年元旦に$c$円の預金があり，西暦$2001$年から毎年元旦に$d$円入金するものとする．このとき，西暦$(2000+n)$年末の預金額を$a_n$円とすると，$a_1=\{c(1+r)+d\}(1+r)$となる．次の問いに答えよ．

(1)　$a_2$を$c\text{，}d\text{，}r$の式で表せ．

(2)　$n>1$のとき$a_n$を$d\text{，}r\text{，}{a}_{n-1}$の式で表せ．

(3)　一般項$a_n$を$c\text{，}d\text{，}r\text{，}n$の式で表せ．

【３】　放物線$C:y=x^2$の上に$3$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)\text{，}\mathrm{T}(t,t^2)$をとる．ただし，$a<t<b$とする．線分$\mathrm{AT}$と放物線$C$によって囲まれる部分の面積を$S_{\mathrm{A}}\text{，}$線分$\mathrm{TB}$と放物線$C$によって囲まれる部分の面積を$S_{\mathrm{B}}$とする．

(1)　$S_{\mathrm{A}}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を固定して$\mathrm{T}$を動かすとき，$S_{\mathrm{A}}+S_{\mathrm{B}}$が最小となる$t$の値を求めよ．また，そのときの$S_{\mathrm{A}}+S_{\mathrm{B}}$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$S_{\mathrm{A}}+S_{\mathrm{B}}$の最小値を$m$とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が直線$y=kx+d$上にあるとき，$m$を$k$と$d$を用いて表せ．

【４】　箱に$2$個の赤いボールと$n-2$個の白いボールが入っている．$\text{（}n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　箱から$3$個のボールを取り出す組合せの総数$N$を求めよ．ただし，それらのボールは区別できるものとする．

(2)　箱から$3$個のボールを取り出すとき，$2$個が白，$1$個が赤となる確率を$P(n)$とおく．このとき，

$P(n)={\displaystyle \frac{6(n-3)}{n(n-1)}}$

であることを示せ．ただし，どのボールも取り出される確率は等しいとする．

(3)　$P(n)-P(n+1)$を求めよ．

(4)　$P(n)$が最大になる$n$を求めよ．

【１】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚，$2$枚，$4$枚ある．合計$7$枚のこれらのカードから$1$枚ずつカードを引き，左から順に並べて$7$文字の列を作る．次の問いに答えよ．

(1)　何種類の文字列ができるか．ただし，同じ文字の書かれたカードは互いに区別しないものとする．

(2)　どのカードを引く確率も等しいとするとき，$\mathrm{C}$が$4$個続いて並ぶ文字列ができる確率を求めよ．

(3)　(2)と同じ仮定のもとで，$\mathrm{C}$が$3$個以上続いて並ぶ文字列ができる確率を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を実数とし，$0<a<b$とする．関数

$S(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(a-t)(b-t)e^{-t}dt\text{（}x>0\text{）}$

を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$c>0$に対して，${\displaystyle {\int }_0^x}(c-t)e^{-t}dt$を計算せよ．

(2)　$S(x)$および$\underset{x\to +\infty }{\lim }S(x)$を求めよ．ただし，$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x}=0$であることは証明なしに使ってもよい．

(3)　さらに，この極限$\underset{x\to +\infty }{\lim }S(x)$が負となるための$a\text{，}b$に対する必要十分条件を求め，それを満たす$a\text{，}b$の範囲を$ab$平面に図示せよ．

【３】　以下において，二つの曲線が直交するとは，交点においてそれぞれの曲線の接線どうしが直交することをいう．ただし，交点が二つ以上ある場合は，どの交点においても接線どうしが直交することとする．

　$L$を原点$\mathrm{O}$を通らない直線とする．$L$上の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{Q}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-{\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OP}}}{{|\mathrm{OP}|}^2}}$

により定める．ここで$|\mathrm{OP}|$は線分$\mathrm{OP}$の長さを表す．点$\mathrm{P}$が直線$L$上を動くとき，対応する点$\mathrm{Q}$の軌跡を$T\left(L\right)$で表す．次の問いに答えよ．

(1)　積$|\mathrm{OP}|\times |\mathrm{OQ}|$を求めよ．

(2)　直線$L_1:x=1$に対して$T(L_1)$の方程式を求めよ．

(3)　直線$L_2:y=2$に対する$T(L_2)$は$T(L_1)$と直交することを示せ．

【１】　$k$を与えられた実数とし，$x\text{，}y\text{，}z$に関する次の連立方程式を考える．

$2k\times 4^x+2^x-3^y-5^z=0$

$2^x+3^y-5^z=0$

$2^{x+2}+5\times 3^{y-1}-2\times 5^z=k+1$

(1)　$z$を消去し，$x$と$y$に関する連立方程式を導け．

(2)　連立方程式をみたす実数の解$(x,y,z)$が存在するような実数$k$の範囲を求めよ．

(3)　(2)で求めた範囲にある$k$が，整数であるとき，実数の解$(x,y,z)$を求めよ．

【２】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が関係式

$a_{n+1}-9a_n=2b_{n+1}+7b_n\text{，}{a}_{n+1}-6a_n=-b_{n+1}+10b_n$

$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．また，$A=\left(\begin{array}{cc}7& 9\\ -1& 1\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$とする．

(1)　$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を証明せよ．

(2)　$B=P^{-1}AP$とする．このとき，$B^n=\left(\begin{array}{cc}{4}^n& n{4}^{n-1}\\ 0& 4^n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を証明せよ．

(3)　$A^n$を$n$を用いて表せ．

(4)　$a_{n+1}$と$b_{n+1}$をそれぞれ$n\text{，}{a}_1\text{，}{b}_1$を用いて表せ．

【３】　$n$は正の整数とする．$0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}9$の中から一つの数を選ぶ操作を$n$回行い，選んだ数を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$とする．ただし，同じ数を何度選んでもよいものとする．

(1)　${10}^{n-1}{a}_1+{10}^{n-2}{a}_2+\cdots +a_n$が$9$で割り切れることは，$a_1+a_2+\cdots +a_n$が$9$で割り切れるための必要十分条件であることを証明せよ．ただし，$0$はどんな正の整数でも割り切れるものとする．

(3)　特に，$n=3$とする．このとき，$a_1+a_2+a_3$が$9$で割り切れる確率を求めよ．

(3)　同様に，$n=3$とする．$a_1+a_2+a_3$が$27$で割り切れるときに$15$点，$a_1+a_2+a_3$が$9$で割り切れるが$27$で割り切れないときに$10$点，$a_1+a_2+a_3$が$3$で割り切れるが$9$で割り切れないときに$5$点，それ以外の場合は点がもらえないものとする．このとき，もらえる点数の期待値を求めよ．

(4)　$n$を一般の正の整数とするとき，$a_1+a_2+\cdots +a_n$が$9$で割り切れる確率を求めよ．