2003　横浜市立大　前期MathJax

【１】　$\mathrm{A}$社と$\mathrm{B}$社の株価の変動は互いに独立であり，またそれぞれの年ごとの変動も独立である．$\mathrm{A}$社の株価が一年間に，$3$倍になる確率，$2$倍になる確率，半分になる確率はそれぞれ$20\%\text{，}30\%\text{，}50\%$であり，$\mathrm{B}$社の株価が一年間に，$2$倍になる確率，変化しない確率，半分になる確率はそれぞれ$20\%\text{，}60\%\text{，}20\%$であるとする．現在の両社の株価がともに$100$円であると仮定して以下の設問に答えよ．

(1)　一年後の$\mathrm{A}$社と$\mathrm{B}$社の株価の期待値はそれぞれ$\boxed{\text{(ア)}}\text{，}\boxed{\text{(イ)}}$である．

(2)　一年後に，$\mathrm{A}$社と$\mathrm{B}$社の株価の和が$400$円以上となる確率は$\boxed{\text{(ウ)}}$である．

(3)　二年後に，$\mathrm{A}$社と$\mathrm{B}$社の株価がいずれも$200$円以上となる確率は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【２】　${\mathrm{Z}}_2$を$0$と$1$とから成る集合とし（${\mathrm{Z}}_2=\{0,1\}$），この${\mathrm{Z}}_2$に演算$⨁$を以下のように定義する．

$a⨁b=a+b$を$2$で割ったときの余り．

すべての場合を書き下すと，$0⨁0=0\text{，}0⨁1=1\text{，}1⨁0=1\text{，}1⨁1=0$となる．このとき以下の設問に答えよ．

(1)　$a,b\in {\mathrm{Z}}_2$に対して演算$a⨁b$を$a$と$b$の多項式で表わせ．

$a⨁b=\boxed{\text{(オ)}}$

(2)　$a,b,c\in {\mathrm{Z}}_2$に対して，$a+b+c-(a⨁b+b⨁c+c⨁a)+(a⨁b)⨁c$を$a\text{，}b\text{，}c$のもっとも次数の低い多項式で表せ．

$a+b+c-(a⨁b+b⨁c+c⨁a)+(a⨁b)⨁c=\boxed{\text{(カ)}}$

【３】　$x$は奇数，$y$は偶数であり，以下の$3$条件，

$2x+3y\leqq 30\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$

を満たすものとする．そのとき$z=min\{2x,3y\}$とおく．ただし$\min$は$a\geqq b$ならば$\min \{a,b\}=b\text{，}a<b$ならば$\min \{a,b\}=a$と定める．

(1)　$z=6$となる$x$と$y$のすべての組合せを求めよ．

(2)　$z$の最大値とそのときの$x$と$y$のすべての組合せを求めよ．

【４】　以下の設問に答えよ．

(1)　$a$を正の数とする．座標平面上の直線$y=2ax$に関して，$y$軸と対称な直線の方程式を求めよ．

【４】　以下の設問に答えよ．

(2)　$u\text{，}v$は実数で，$\mathrm{A}(u,v)\text{，}\mathrm{B}(-2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,-1)$を座標平面上の点とする．点$\mathrm{P}$が，$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$を端点とする線分$\mathrm{BC}$上を動くとき，$2$点$\mathrm{AP}$の距離が最小となる$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【１】　次の(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　各組が$13$枚ずつからなる赤，青，黄，緑の$4$組のカードがあり，それぞれ$1$から$13$までの番号が$1$つずつ書かれている．この$52$枚のカードは$1$つの袋に入っている．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のようなゲームをする．この袋から$1$枚のカードをぬきだすとき，そのカードの色が赤であるか，またはカードの番号が$10$以上であれば$\mathrm{A}$の勝ち，それ以外であれば$\mathrm{B}$の勝ちとする．$1$回のゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\boxed{\text{(ア)}}$である．このゲームを$n$回行なうとき，$\mathrm{A}$が$k$回勝つ確率は$\boxed{\text{(イ)}}$となる．ただし，$1$回のゲームが終わるごとに，カードはもとに戻すものとする．

【１】　次の(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　右図において点$\mathrm{A}$から出発して，線分に沿って移動する動点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$は各点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$において，$1$度通過した線分を除いて等しい確率で次の点に向かって移動する．ただし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のどれかに到達したらそこで運動は終了する．このとき，$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に戻る確率は$\boxed{\text{(ウ)}}$である．また，$\mathrm{B}$に到達する確率は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【２】　次の(カ)，(キ)，(ク)，(ケ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　座標平面上の曲線$C:y=\sqrt{x^2+1}\text{（}x>0\text{）}$の点$\mathrm{P}(t,\sqrt{t^2+1})$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とする．三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(t)$を$t$を用いて表すと$\boxed{\text{(カ)}}$となる．また，$S(t)$の最小値は$\boxed{\text{(キ)}}$である．

【２】　次の(カ)，(キ)，(ク)，(ケ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|x\sin x|dx$の値は$\boxed{\text{(ク)}}$である．

【２】　次の(カ)，(キ)，(ク)，(ケ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　複素数$z=-1+i$に対して，集合

$\mathrm{S}=\{a_0+a_{1}z+a_2{z}^2|a_0,a_1,a_2\text{は}0\text{または}1\}$

を考える．$\mathrm{S}$のなかで絶対値が最大の複素数は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

【３】　座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)\text{，}\mathrm{C}(1,1)\text{，}\mathrm{D}(0,1)$を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$がある．動点$\mathrm{P}$は$x$座標，$y$座標がともに正であり，三角形$\mathrm{ABP}$の面積が$1$となるように動くものとする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし，三角形$\mathrm{ABP}$と四角形$\mathrm{ABCD}$の共通部分の面積を$S(t)$とする．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_1^x}{\displaystyle \frac{S(t)}{t}}dt$を求めよ．

【４】　実数$\lambda ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\text{，}\mu ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$と行列$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$に対して

$f_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}({\lambda }^n-{\mu }^n)\text{，}{A}^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　すべての$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$2f_{n+1}+f_n=f_{n+3}\text{，}3f_{n+1}+2f_n=f_{n+4}$

が成り立つことを証明せよ．

(3)　すべての$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{f}_{3n+1}& f_{3n}\\ f_{3n}& f_{3n-1}\end{array}\right)$

が成り立つことを証明せよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log (a_n+b_n+c_n+d_n)$を求めよ．