2003　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=x^3-4x$と$g(x)=x^2+ax+b$について次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$と$y=g(x)$は$x=2$で接し，$x=p\text{（}p\ne 2\text{）}$で交わる．このとき，$a\text{，}b\text{，}p$の値を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}p$は(1)で求めた値とする．$x$が$p$と$2$の間を動くとき，$f(x)-g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

【２】　座標空間の$4$点$\mathrm{A}(4,1,3)\text{，}\mathrm{B}(3,0,2)\text{，}\mathrm{C}(-3,0,14)\text{，}\mathrm{D}(7,-5,-6)$について，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CD}}$のいずれにも垂直な大きさ$\sqrt{6}$のベクトルを$1$つ求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとる．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の成分を$t$を用いて表せ．

(3)　さらに直線$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$に垂直となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=|x^2-2x-5|$のグラフをかけ．また図の中に$y$軸および$x$軸との交点，頂点の座標を示せ．

(2)　$k$を実数の定数とする．方程式$|x^2-2x-5|={\displaystyle \frac{1}{2}}x+k$の実数解の個数を求めよ．

【４】　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんが同時にいくつかのコインを投げ，表の出た個数の多い方を勝者とするゲームを行う．

(1)　$\mathrm{A}$さんが$5$個，$\mathrm{B}$さんが$5$個投げたとき，$\mathrm{B}$さんが勝つ確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$さんが$5$個，$\mathrm{B}$さんが$6$個投げたとき，$\mathrm{B}$さんが勝つ確率を求めよ．