2003　名古屋市立大　後期経済学部MathJax

【１】　関数$f(x)=\log (x+\sqrt{1+x^2})\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数を表す．

(1)　関数$y=f(x)$の増減を調べよ．

(2)　$y=f(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$の逆関数$x=g(t)$を求めよ．

(3)　$y$軸，直線$y=\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)$および曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　図のように鋭角である$\angle \mathrm{XOY}$の内部に定点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がそれぞれ辺$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}$上を，線分$\mathrm{AB}$が点$\mathrm{P}$を通るように動く．$▵\mathrm{OAB}$の面積が最小となるときの比$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}$を求めよ．ただし，その理由をわかりやすく説明すること．

【３】　$1$から$n$までの番号を$1$つずつ書いた$n$個の球がつぼに入っている．このつぼから無作為に球を$1$つとり出し，その番号を$X_1$とする．この球をつぼに戻し，再び無作為に球を$1$つとり出し，その番号を$X_2$とする．この$2$つの番号の差$|X_1-X_2|$について，次の問いに答えよ．

(1)　$k$を$0$以上$n-1$以下の整数とする．$|X_1-X_2|=k$となる確率を求めよ．

(2)　$|X_1-X_2|$の期待値$E$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{E}{n}}>{\displaystyle \frac{35}{108}}$となるような$n$の条件を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0$のとき方程式$ax+b=e^x$が実数解$x$をもたないための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

(2)　(1)で求めた条件を満たす$(a,b)$の領域を図示せよ．ただし，$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{t}{e^t}}=0$を用いてもよい．