2003　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　実数$a\text{，}b$に対し，$x$についての$2$次方程式$x^2-2ax+b=0$は，$0\leqq x\leqq 1$の範囲に少なくとも一つ実数解をもつとする．このとき，$a\text{，}b$がみたす条件を求め，点$(a,b)$の存在範囲を図示せよ．

【２】　自然数$n$に対して，$a_n=2^n+1$とする．

問１　すべての自然数$m$に対して，$a_{3m+1}-a_1$は$7$で割り切れることを証明せよ．

問２　$a_n$を$7$で割った余りを求めよ．

【３】　$a\geqq 0$とする．

問１　$S(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-2(a+1)x+a^2+2a|dx$を求めよ．

問２　$S(a)$が最小となる$a$の値を求めよ．

【４】　複素数平面において，点$\mathrm{P}(z)$を原点$\mathrm{O}$のまわりに$\theta \text{（}0°<\theta <180°\text{）}$だけ回転し，さらに点$\mathrm{E}(1)$のまわりに$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{Q}(w)$とする．このとき，点$\mathrm{Q}(w)$は点$\mathrm{P}(z)$をある点$\mathrm{A}(\alpha )$のまわりに$2\theta$だけ回転した点と一致する．ただし，回転はすべて反時計まわりとする．

　複素数$\gamma$を

$\gamma =\cos \theta +i\sin \theta$

とする．

問１　複素数$w$を$z$と$\gamma$を用いて表せ．

問２　複素数$\alpha$を$\gamma$を用いて表せ．

問３　三角形$\mathrm{OEA}$が正三角形となるような$\theta$の値を求めよ．

【１】　正の実数$x$に対して，$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$とする．

問１　関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

問２　自然数$a\text{，}b$で，$a<b$かつ$a^b=b^a$となるものをすべて求めよ．

【２】　空間に$4$点$\mathrm{A}(-2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,2)\text{，}\mathrm{D}(2,-1,0)$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面を$T$とする．

問１　点$\mathrm{D}$から平面$T$に下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

問２　平面$T$において，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る円$S$の中心の座標と半径を求めよ．

問３　点$\mathrm{P}$が円$S$の周上を動くとき，線分$\mathrm{DP}$の長さが最小になる$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　$p\text{，}q$は正の有理数で，$\sqrt{q}$は無理数であるとする．自然数$n$に対し，有理数$a_n\text{，}{b}_n$を

${(p+\sqrt{q})}^n=a_n+b_n\sqrt{q}$

によって定める．

問１　${(p-\sqrt{q})}^n=a_n-b_n\sqrt{q}$を示せ．

問２　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}=\sqrt{q}$を示せ．

【４】　実数$a\text{，}b$と自然数$n$に対して

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{(a\cos x+b\sin x)}^{2n}dx$

$J_n={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{(\sin x)}^{2n}dx$

とおく．

問１　$I_n={(a^2+b^2)}^n{J}_n$を示せ．

問２　$J_n$と$J_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$の関係式を求め，$I_n$を求めよ．