2003 大阪市立大学 後期MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2003 大阪市立大学 後期

理(数学),工学部

理(数)学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

2003年大阪市立大後期理・工学部【1】の図

【1】 右の図のように,正三角形の網目状に道が走っている六角形の平地がある.道が交差している点を格子点といい,この平地上を格子点から格子点へ道をつたって移動する動点 P を考える.動点 P が六角形 B 1B2 B3 B4 B5B 6 の周上または内部の格子点上にあるときサイコロを振り,出た目が k 1 k6 ならば,今いる格子点から見てベクトル O Ak の向きにある隣りの格子点へと移動するものとする.動点 P が最初に中心 O 上にあり,サイコロを振っての移動を 3 度行って到達した格子点を Q とする.サイコロを振って k 1 k6 の目が出る確率は 16 であるとして,次の問いに答えよ.

問1 点 Q が六角形 A1 A2 A3 A4A 5A6 のいずれかの頂点上にある確率を求めよ.

問2 点 Q が六角形 C1 C2 C3C 4C5 C6 の周上にあるならば得点 3 六角形 B 1B2 B3 B4 B5B 6 の周上にあるならば得点 2 六角形 A 1A2 A3 A4 A5A 6 の周上にあるならば得点 1 中心 O 上にあるならば得点 0 とする.得点の期待値を求めよ.

2003 大阪市立大学 後期

理(数学)学部

100点

易□ 並□ 難□

【2】 正の定数 t について, xy 平面上の曲線 y= logx x 軸および 2 直線 x= t x=t+ 32 とで囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V (t) とする.次の問いに答えよ.

問1  t>0 において V (t) が最小になる t の値を求めよ.

問2  t>0 における V (t) の最小値を求めよ.

2003 大阪市立大学 後期

理(数学),工学部

理(数)学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【3】  2 次の単位行列を E すべての成分が 0 2 次の正方行列を O で表す.実数を成分とする二つの 2 次の正方行列

A=( ab cd ) X= (x yz w)

について次の問いに答えよ.

問1  A2- (a+d )A+ (ad -bc )E= O が成り立つことを示せ.

問2  AX+ XA= O のとき A2 X=X A2 であることを示せ.

問3  AX+ XA= O のとき, a+d= 0 または A X=O であることを示せ.

2003 大阪市立大学 後期

理(数学)学部

100点

易□ 並□ 難□

【4】 複素数と複素数平面上の円に関する次の問いに答えよ.

問1 実数 p q は定数とし,等式 | w| 2+p (w+w )+q =0 をみたす複素数 w の全体が描く図形を C とする.相異なる実数 a b に対して, w=2 a および w= 2b の表す点が図形 C 上にあるとき,図形 C は実軸上の点 (a+ b) を中心とする半径 | a-b| の円であることを示せ.

問2  t -1< t<1 である定数とする.複素数平面上で,点 z が実軸上の点 14 を中心とする半径 14 の円周上を動くとき,点

w= z-t 1-t z

は実軸上に中心を持つ円を描くことを示し,その円の中心が原点 0 となるような t - 1<t< 1 を求めよ.

2003 大阪市立大学 後期

理(数学,物理),工学部

理(数学,物理)学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【5】  xy 平面上を曲線 C: y= 12 (x2 -1) に沿って動く点 P x 座標が,時刻 t の関数として x= f(t ) で表されるとする.ただし, f( t) は微分可能で,その導関数 f (t) も微分可能であり,常に f (t)> 0 であるとする.原点 O を始点とする動点 P の位置ベクトルを r とし,動点 P の速度ベクトルを v 加速度ベクトルを α とするとき,次の問いに答えよ.

問1 動点 P の原点 O からの距離 | r | および動点 P の速さ | v | を,関数 f (t) f (t) のみを用いて表せ.

問2  k を正の定数とし,等式

1 2 | v | 2- k2 |r | = 0

が常に成立しているとする.このとき,加速度ベクトル α k f (t) のみを用いて表し,二つのベクトル r α は平行であることを示せ.

2003 大阪市立大学 後期

工学部

40点

易□ 並□ 難□

2003年大阪市立大後期工学部【2】の図

【2】  xy 平面において,二点 A( 1,0) B( 0, 12 ) を端点とする曲線

C:x= cos3 t y= 12 sin3 t( 0t< π 2)

を考える. 0<θ< π2 とし,点 P ( cos3 θ, 12 sin3 θ) における曲線 C の接線と x 軸との交点を Q とする.座標 (0 ,1) の点を N とするとき,次の問いに答えよ.

問1 点 Q の座標を求めよ.

問2  OQP= α OQN=β とおく. tanα tanβ θ を用いて表し, cos α cosβ θ に無関係な定数であることを示せ.

2003 大阪市立大学 後期

工学部

40点

易□ 並□ 難□

n= 5 k=3 のときの図)

2003年大阪市立大後期工学部【4】の図

【4】  xy 平面の x 0 y0 の部分において,原点 O を通り x 軸と角 kn (ラジアン)をなす半直線を lk とする.ただし, k 1 kn である整数とする.座標 (1, 0) の点を A0 とし,原点 O を中心とする半径 1 の円と半直線 lk の交点を Ak とする.また,点 A k-1 を通り y 軸と平行な直線と半直線 lk の交点を Bk とする.線分 A kBk の長さを L k(n) とおくとき,次の問いに答えよ.

問1  Lk (n) sin 1n cos 1n および tan kn を用いて表せ.

問2  limn nL n(n )=tan 1 であることを示せ.

問3 定積分を用いて極限 lim n ( 1n k=1n tan kn ) の値 α を求め, limn k=1n Lk(n )=α であることを示せ.

inserted by FC2 system