2003　東北学院大学　経済学部経済学科MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$とする．$\cos B={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}\cos C={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\sin B\text{，}\sin C$の値をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　$a$を$b\text{，}c$で表わせ．

(ⅲ)　$▵\mathrm{ABC}$の面積が$6+2\sqrt{2}$のとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　$1$個のさいころを$2$回投げ，$1$回目に出る目を$a\text{，}2$回目に出る目を$b$とする．$2$次方程式$x^2-2ax+b-1=0$の解について，次の確率を求めよ．

(ⅰ)　$x=1$を解に持つ確率

(ⅱ)　重解を持つ確率

(ⅲ)　解がすべて整数である確率

【３】　点$(2,6)$を通る曲線$y=f(x)$上の点$(x,y)$における接線の傾きが$-2x+3$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と直線$y=x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

(ⅲ)　$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$の極大値を求めよ．

【４】　$xy=512\text{，}x\geqq 8\text{，}y\geqq {\displaystyle \frac{1}{8}}$とする．$({\log }_{8}x)({\log }_{8}y)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【５】　$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{k(k-1)}}$と${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}$を求めよ．

(ⅱ)　次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}}<{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}<2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$

【６】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$を実数の定数とするとき，$(2+i)x^2+(2+ai+i)x-4+ai=0$を満たす実数$x$が存在するように，$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　複素数$z$が$|z|=1\text{，}z\ne 1$を満たすとき，${\displaystyle \frac{iz-i}{z+1}}$は実数であることを示せ．