2003　東北学院大学　教養学部人間科学科，経済学部経営学科MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x-2y=t$とおくとき，$x^2-4xy+4y^2+2x-4y+3$を$t$で表わせ．

(ⅱ)　$x\text{，}y$が不等式

$x^2\leqq 16\text{，}2y^2+3y+1\leqq 0$

を満たすとき，$x^2-4xy+4y^2+2x-4y+3$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$1$個のさいころを$4$回投げ，出た目の数を順に$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とするとき，次の確率を求めよ．

(ⅰ)　積$abcd$が偶数である確率

(ⅱ)　積$abcd$は偶数であるが$4$の倍数でない確率

(ⅲ)　$a+b+c+d=8$である確率

【３】　関数$f(x)=3x^2+2ax+a^2+3a$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(ⅰ)　等式${\displaystyle {\int }_1^4}f(x)dx=3f(3)$が成り立つように，定数$a$の値を定めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で定めた$a$に対し，$1\leqq x\leqq 4$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の中点の座標がそれぞれ$(7,7)\text{，}(4,-2)\text{，}(11,5)$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る円$D$の中心の座標と半径を求めよ．

(ⅲ)　直線$y=2x+k$と円$D$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わり，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$10$であるとき，$k$の値を求めよ．

【５】　第$n$項が，それぞれ$a_n=5n+4\text{，}{b}_n=3n+2$である$2$つの等差数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$がある．この$2$つの数列に共通な項を順に並べて出来る数列を$\{c_n\}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$c_1$を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．

(ⅲ)　$c_5=a_l\text{，}{C}_{10}=a_m$となる$l\text{，}m$に対し，数列$\{a_n\}$の第$l$項から第$m$項までの和を求めよ．

【６】　$a$を定数とし，$3$点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,2,3)\text{，}\mathrm{C}(a,3,2)$をとる．

(ⅰ)　$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$を$a$で表わせ．

(ⅱ)　$▵\mathrm{ABC}$の面積$S(a)$を求めよ．

(ⅲ)　$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．