2003　東北学院大学　工学部(電気，土木)MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$x^2+4y^2=17$を満たす正の整数をすべて求めると$(x,y)=\boxed{\text{（ア）}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　正の整数$1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$を右図のように並べ，上から$m$番目，左から$n$番目の数を$a_{m,n}$とする．たとえば$a_{2,3}=9\text{，}{a}_{3,1}=4$である．このとき次の各問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_{m,1}$を$m$の式で表わすと$\boxed{\text{（イ）}}$である．

(ⅱ)　$a_{m,n}$を$m\text{，}n$の式で表わすと$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　${\left({\displaystyle \frac{1-i}{\sqrt{3}+i}}\right)}^3$を$a+bi$，（$a\text{，}b$は実数）と表わすとき，$(a,b)=\boxed{\text{（ア）}}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　三角錐$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$上にそれぞれ

$\mathrm{OA}:\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }=2:1\text{，}\mathrm{OB}:\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }=3:1\text{，}\mathrm{>OC}:\mathrm{O}{\mathrm{C}}^{\prime }=4:1$

となるような点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$をとる．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．次の各問いに答えよ．

(ⅰ)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表わすと$\boxed{\text{（イ）}}$となる．

(ⅱ)　線分$\mathrm{OG}$と$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$との交点を$G^{\prime }$とする．$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{G}}^{\prime }}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表わすと$\boxed{\text{（ウ）}}$となる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$x$についての$2$次不等式

$x^2+x+1\geqq mx-m+1$

の解が実数全体となるような，実数$m$の範囲を求めると$\boxed{}$である．

【２】　$\mathrm{O}$を頂点，正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする正四角錐$\mathrm{OABCD}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=9\text{，}\mathrm{AB}=6$で，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$とする（右図参照）．

　このとき，次の各問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{BM}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　$▵\mathrm{MBD}$の面積を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　不等式$2{({\log }_{3}x)}^2-2<{\log }_{\frac{1}{3}}{x}^3$を解くと$\boxed{}$である．

【２】　$a\text{，}b$を定数とする．関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx$は$x=-1$で極大になるという．さらに$y=f(x)$のグラフは点$(1,f(1))$を中心として点対称であるという．このとき次の各問いに答えよ．

(ⅰ)　定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の極大値，極小値を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　次の関係を満たす関数を求めると，$f(x)=\boxed{}$である．

$f(x)=\cos x+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}f(t)\tan tdt$

【２】　点$\mathrm{P}$は時刻$t=\mathrm{0}$のとき原点$\mathrm{O}$を出発し，時刻$t$のとき速度が$v(t)=t{e}^{-2t}$であることを満たしつつ，数直線上を運動するという．次の各問いに答えよ．

(ⅰ)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の位置$s(t)$を求めよ．

(ⅱ)　極限値$\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$を求めよ．