2003　東北学院大学　教養(言語),法学部MathJax

【１】　$\mathrm{SUUGAKU}$の$7$文字を$1$列に並べるとき，次のような並べ方は何通りあるか．

(ⅰ)　$1$列に並べる．

(ⅱ)　$\mathrm{GAUSU}$という文字列を含むように並べる．

(ⅲ)　$\mathrm{U}$はすべて奇数番目にくるように並べる．

(ⅳ)　$\mathrm{U}$は$2$つ以上隣り合わないように並べる．

【２】　座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$は第$1$象限の点で，$\angle \mathrm{AOB}=30°\text{，}\mathrm{OA}=\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{OC}=4$とする．$▵\mathrm{OBC}$の面積が$\sqrt{3}$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　$2$次関数のグラフが$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通るとき，その$2$次関数を求めよ．

【３】　$a$は$0<a<1$を満たす定数とする．曲線$y=a^2-x^2\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$と$x$軸，および$2$直線$x=0\text{，}x=1$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$S(a)$を求めよ．

(ⅱ)　$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　不等式${\log }_{0.5}(4-x)\geqq {\log }_{0.5}x-1$を解け．

(ⅱ)　(ⅰ)の不等式を満たす$x$のうちで最小の整数を$n$とするとき，$6^{27n}$は何桁の整数か．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【５】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${(3x-1)}^4$を$x^3$で割った余りを求めよ．

(ⅱ)　${(x+1)}^{40}$を$x^3$で割った余りを求めよ．

(ⅲ)　$x^{40}$を${(x-1)}^3$で割った余りを求めよ．

【６】　整式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$を$x-2$で割った商を$g(x)\text{，}$余りを$R$とする．$g(x)$と$R$が次の条件(A)，(B)を満たすとき，係数$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

• (A)　$R=7$である．
• (B)　$2$次方程式$g(x)=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$2\alpha -1$と$2\beta -1$を解に持つ$2$次方程式は$x^2-4x+27=0$である．