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2003-13331-0201
2003 学習院大学 理学部
40点
2月13日実施
易□ 並□ 難□
【1】 z -1-3 ⁢iz -2 が純虚数であるような複素数 z について, |z | の最大値と最小値を求めよ.ただし, i は虚数単位を表し, i の 0 でない実数倍を純虚数という.また, |z | は z の絶対値を表す.
2003-13331-0202
【2】 a を実数とする. 2 つの曲線 y= x3- x と y= x2+ a の両方に接する直線の個数を求めよ.
2003-13331-0203
【3】 関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )=x3 ⁢e -x2
と定める. f⁡(x ) を最大にする x の値を a とするとき,次の問いに答えよ.
(1) a と f⁡ (a) を求めよ.
(2) ∫ 0a⁡ f⁡(x )⁢dx を求めよ.
2003-13331-0204
【5】との選択
30点
【4】 1 から p までの自然数が 1 つずつ書かれた p 枚の赤色のカードと, 1 から q までの自然数が 1 つずつ書かれた q 枚の青色カードがある.ただし, q≧p とする.これらのカードすべてを次の規則に従って並べる.
{ (a) 最初のカードは赤色カード (b) 最後のカードは青色カード (c) 赤色カードは2 枚続かない
(1) p=3 ,q=3 のとき並べ方は何通りか.
(2) 一般の p ,q のとき並べ方は何通りか.
2003-13331-0205
【4】との選択
【5】 m>n≧ 0 を満たす整数 m ,n に対して,整数 f⁡ (m,n ) を次の規則で定める:
{ (a)f⁡ (m,0 )=0 (b) f⁡ (m,1 )=m (c) n≧2 のとき, mを n で割った余り r( 0≦ r<n )に 関してf ⁡(m,n )=f⁡ (n,r)
たとえば, f⁡(7 ,4)= f⁡(4 ,3)= f⁡(3 ,1)= 3 となる.
このとき
(1) n=1 ,2 ,⋯ ,12 のおのおのについて, f⁡(13 ,n) を求めよ.
(2) 与えられた M> N≧0 に対して, f⁡(M ,N) を求めて出力する次のプログラムを完成させよ.
100 INPUT M,N
⋯