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2003 慶応義塾大学 看護医療学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(1) 実数 x y z は,次の 3 つの条件をみたすとする.

{ 3x+ y-z=1 x+2 y+3 z=7 1 z 52

 このとき, x の値の範囲は (ア) であり,積 x yz の値の範囲は (イ) である.

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【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(2)  k>0 とする. 2 次関数 y= 1 k x2 のグラフを F1 とし,関数 y= -|x |+k のグラフを F2 とする.このとき, F1 F2 の共有点の x 座標は (ウ) である.また, F1 F2 によって囲まれる図形の面積を k で表すと (エ) である.

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【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(3)  r>0 0° θ<360 ° とする.連立方程式

{ cos80° +cos20 °+r cosθ= 0sin 80°+ sin20° +rsin θ=0

の解は r= (オ) θ = (カ) である.

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【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(4)  3 A( 1,2) B( 2,3) C( 3,1) から作られる三角形の重心を通る傾き a の直線を l とする. 3 A B C の各点と直線 l の距離の 2 乗の和 S a で表すと S= (キ) であり, S の最大値は (ク) である.

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【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(5) 数列 {an } a1 =1 で,漸化式

2(n +1) an+ 1-13 an= 0 n= 1 2 3

 をみたすとする.このとき,一般項 an n の式で表すと a n= (ケ) であり, an の最大値を与える n の値は (コ) である.

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【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(6)  1 から 5 までの番号のついたカードが用意されていて,最初に, 1 の番号のついたカードが 1 枚, 2 の番号のついたカードが 2 枚,というように, 1 から 5 までの番号のついたカードがその番号の枚数だけ袋に入っている.つぎのようにして 2 桁の数をつくる.まず,袋の中からカードを 1 枚抜き出して番号を観察し,その番号を一の位にする.そうして,抜き出したカードとともに,その番号のついたカードをその番号の枚数だけ加えて袋に入れる.つぎに,この袋の中からカードを 1 枚抜き出して番号を観察し,その番号を十の位にする.このようにしてできる 2 桁の数について,一の位と十の位の数が同じになる確率は (サ) であり,その 2 桁の数が 20 より大きい数または偶数となる確率は (シ) である.

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【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(7) 空間内に 4 A B C D が与えられていて,線分 AC BD は同一直線上にはないとする. AC BD の中点をそれぞれ M N とするとき, AB +CD = (ス) MN AB +AD +CB +CD = (セ) MN である.

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【1】 次の   にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい。

(8)  a は定数とする.関数 f (x) は閉区間 [0, 4] で定義され,

0x 2- 25 5 または 2 + 25 5< x4 のとき f (x) = ax ( 52 t-5) dt

で,また

2- 25 5<x 2+ 25 5 のとき f (x)= ax ( - 52 t+5 ) dt

で与えられるとする. f(0 )= 2 とすると, a の値は (ソ) である.また,このような a に対して, f( x) の最大値は (タ) である.

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【2】  k は自然数とする.原点を通り正の傾きをもつ直線 l が中心 (k+ 2,0) 半径 1 の円と接している.直線 l の傾きを ak とし, bk= ak2 とする.次の問いに答えなさい.なお,解答欄には最も適する数または式を記入しなさい.

(1)  bk k で表せ.

(2) 和 k =1n bk n で表せ.

(3) 不等式 k= 1n bk > 25 をみたす最小の自然数 n の値を求めよ.

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【3】 点 Q ( s,t ) は原点 O を中心とし半径が 1 の円上を動くとし, Q と点 P (2, 2) を結ぶ線分 QP の垂直 2 等分線を l とする.次の問いに答えなさい.

(1) 直線 l の方程式を s t で表せ.

(2) 点 R は直線 l 上にあり OQ OR =0 をみたすとき,点 R の軌跡を求めよ.

(ただし,点 Q 2 ( 1 2 , 12 ) ( - 12 ,- 12 ) を除く.)

(3) (2)の条件の下で, OQR の面積が最小になる点 Q の座標を求めよ.

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【4】 関数 T1 (x )

T1 (x)= 1-| 2x- 1| 0 x1

とし, T2 (x)=T 1( T1 (x)) T3 (x) =T1 (T2 ( x)) というように,一般の自然数 n について T n+1 (x )=T 1( Tn (x) ) と定める.次の問いに答えなさい.

(1) 関数 y= T1 (x) 0 x1 のグラフをかけ.

(2)  0<a< 1 とする.連立不等式

{ ya y T2 (x) 0x 1

の表す領域の面積を a で表せ.

(3) 方程式 y- Tn (x)= 0 0 x1 の表す図形と直線 y= x の共有点の x 座標の最大値が 1- ( 1 10) 10 より大きくなるような自然数 n の最小値を求めよ.ただし, log10 2= 0.3010 とする.

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