2003　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】　実数$b\text{，}d\text{，}\alpha$をとり，$b>0\text{，}d\geqq 0$とする．曲線$C$を極方程式

${\displaystyle \frac{1}{r}}=b\cos (\theta -\alpha )+d$

によって定める．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　$d=0$とした曲線$C^{\prime }$を直交座標（$x\text{，}y$座標）に関する方程式に書き直すと

$\boxed{\text{(ア)}}\times x+\boxed{\text{(イ)}}\times y-1=0$

になる．すなわち$C^{\prime }$は直線である．

(2)　$d>0$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$から直線$C^{\prime }$へ垂線$\mathrm{PH}$を下ろす．$\mathrm{PH}$を$b\text{，}d\text{，}r$を用いて表すと，$\mathrm{PH}=\boxed{\text{(ウ)}}$となる．したがって

${\displaystyle \frac{\mathrm{PH}}{\mathrm{OP}}}=\boxed{\text{(エ)}}$

となり，この比は$r\text{，}\theta$によらない一定の値をとる．このことから，$b=\boxed{\text{(オ)}}$のとき曲線$C$は放物線である．

【２】　東西方向と南北方向（東を$x$軸正方向，北を$y$軸正方向とする）に大通りがあり，その交差点を原点とする．さらに，距離$1$の間隔で格子状に道路がある．時刻$0$で車が原点に南から侵入してきたとする．この車は毎分距離$1$だけ進むとし，各交差点では直進，右折，左折のいずれかを行うものとする．ただし，南の方向には曲がらないとし，各時刻$0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{（分）}$で交差点において可能な方向を等確率で選びながら進むとする．このとき，次の(カ)〜(サ)を求めなさい．ただし，(ク)，(コ)，(サ)は数と$n$だけを用いて表しなさい．

　$n$ を正の整数とする．時刻$t=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1$ のうち，ちょうど$k$回西の方向を選んで進んだとすると，時刻$n$で車は直線$y+x=\boxed{\text{(カ)}}$上にいる．

　この車が時刻$n$で南から直線$y+x=n$上に到達する確率を$a_n$とし，西から直線$y+x=n$上に到達する確率を$b_n$とすると，時刻$n$で直線$y+x=n$上に到達する確率$p_n$は$p_n=a_n+b_n$である．

　$a_1=b_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$である．$n\geqq 2$のとき，確率$a_n$と$b_n$をそれぞれ$a_{n-1}$と$b_{n-1}$で表すと，$a_n=b_n=\boxed{\text{(キ)}}$となる．したがって，$n\geqq 1$のとき$p_n={\displaystyle \frac{2}{3}}\times \boxed{\text{(ク)}}$となる．

　$n\geqq 5$のとき，この車が時刻$t=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n-3$のうち$1$回だけ西の方向を選んで進み，時刻$n$で直線$y+x=n-2$上にいる確率は

${\displaystyle \sum _{t=2}^{n-3}}{a}_t\times {\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}\times p_{\boxed{\text{(ケ)}}}=(n-4)\times \boxed{\text{(コ)}}$

となる．これより，時刻$0$で南から原点に侵入してきた車が大通りの西$\text{（}x<0\text{）}$を通ることなく時刻$n\text{（}n\geqq 4\text{）}$で初めて直線$y+x=n-2$上に到達する確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(サ)}}}{3}}\times \boxed{\text{(コ)}}+{\displaystyle \frac{2}{3^n}}$

となる．

【３】(1)　正の整数$n$の正の約数の個数を$d(n)$で表す．たとえば，$d(5)=2\text{，}d(6)=4$であり，$d(32)=\boxed{\text{(シ)}}\text{，}d(72)=\boxed{\text{(ス)}}$である．

　一般に，$n$が素数$p$の累乗として$n=p^k\text{（}k\text{は正の整数）}$と表されるとき，$d(n)=\boxed{\text{(セ)}}$である．上で求めた$d(32)$はこの例である．

　次に，$n$が$2$個の異なる素数$p_1\text{，}{p}_2$と正の整数$k_1\text{，}{k}_2$を用いて$n={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}$と表されるとき，$d(n)=\boxed{\text{(ソ)}}$である．上で求めた$d(72)$はこの例である．

　さらに，$n$が$r$個の異なる素数$p_1\text{，}{p}_2\text{，}\cdots \text{，}{p}_r$と正の整数$k_1\text{，}{k}_2\text{，}\cdots \text{，}{k}_r$により$n={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots {p_r}^{k_r}$と素因数分解されるとき，$d(n)$を$k_1\text{，}{k}_2\text{，}\cdots \text{，}{k}_r$を用いて表すと$d(n)=\boxed{\text{(タ)}}$となる．

(2)　$d(n)$が奇数であることは，$n$がある整数$m$を用いて$n=m^2$と表されることと同値であることを証明し，それを$\boxed{\text{(チ)}}$に書きなさい．

【４】　$k$を正の実数とする．$x>{\displaystyle \frac{1}{4}}$で定義された関数

$f(x)={\displaystyle \frac{k}{4x-1}-\frac{1}{x^2}}$

について，次の問に答えなさい．

(1)　不等式$f^{\prime }(x)<0$を$k$について解き，その解を$k>g(x)$とする．この$g(x)$は$x=\boxed{\text{(ツ)}}$で最大値$m=\boxed{\text{(テ)}}$をとる．したがって，$k>m$のとき$f(x)$は単調に減少する．

(2)　$k<m$のとき，$f(x)$は単調に減少する部分と単調に増加する部分を含む．$f(x)$が極小値$0$をとるのは$x=\boxed{\text{(ト)}}\text{，}k=\boxed{\text{(ナ)}}$のときである．$k=\boxed{\text{(ナ)}}$のとき，$f(x)$は$x=\boxed{\text{(ニ)}}$で極大値をとる．

(3)　$k<\boxed{\text{(ナ)}}$のとき，領域$\{(x,y)|f(x)\leqq y\leqq 0\}$の面積を$S(k)$とおくと

$\underset{k\to 0}{\lim }S(k)=\boxed{\text{(ヌ)}}$

である．

【５】　平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$に値

$F(\mathrm{P})=\{\begin{array}{ll}1& \text{（}x<0\text{，}y\geqq 0\text{のとき）}\\ -1& \text{（}x\geqq 0\text{，}y<0\text{のとき）}\\ 0& \text{（その他のとき）}\end{array}$

を対応させる．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　実数列

$a_i=-1+{\displaystyle \frac{2i}{2k+1}}\text{（}i=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}2k+1\text{）}$

から作られた点${\mathrm{P}}_1(a_0,a_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(a_1,a_2)\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{2k+1}(a_{2k},a_{2k+1})$に対して，${\displaystyle \sum _{i=1}^{2k+1}}F({\mathrm{P}}_i)$の値を求めなさい．解答欄には答だけを書きなさい．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を任意の実数とする．$3$点$\mathrm{P}(a,b)\text{，}\mathrm{Q}(b,c)\text{，}\mathrm{R}(a,c)$に対して，

$F(\mathrm{P})+F(\mathrm{Q})=F(\mathrm{R})$

が成り立つことを証明しなさい．

(3)　実数列$a_0\text{，}{a}_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$から作られた点${\mathrm{P}}_1(a_0,a_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(a_1,a_2)\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n(a_{n-1},a_n)$に対して値$S={\displaystyle \sum _{i=1}^n}F({\mathrm{P}}_i)$を考える．$a_0\geqq 0\text{，}{a}_n<0$ならば，$S$はこの実数列によらない一定の値であることを証明し，その値を求めなさい．